Dalam geometri, garis singgung dalam lingkaran memegang peran penting dalam menentukan hubungan antara titik-titik pada lingkaran. Rumus garis singgung dalam menyediakan alat matematis yang ampuh untuk menghitung panjang garis singgung tersebut, memungkinkan kita memahami sifat-sifat geometris lingkaran secara lebih mendalam.

Garis singgung dalam lingkaran didefinisikan sebagai garis lurus yang bersinggungan dengan lingkaran di dua titik berbeda. Dengan memahami rumus dan aplikasinya, kita dapat memperoleh wawasan yang berharga tentang sifat-sifat lingkaran dan menyelesaikan berbagai permasalahan geometri.

Definisi Garis Singgung Dalam

Dalam geometri, garis singgung dalam lingkaran adalah garis lurus yang bersinggungan dengan lingkaran pada satu titik dan berada di dalam lingkaran.

Garis singgung dalam membentuk sudut 90 derajat dengan jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung.

Contoh Ilustrasi Garis Singgung Dalam

• Seutas tali yang diikatkan pada sebuah tiang dan dikaitkan pada sebuah paku yang ditancapkan pada tembok.
• Sebuah busur yang menempel pada sebuah roda.

Rumus Garis Singgung Dalam

Garis singgung dalam suatu lingkaran adalah garis yang menyinggung lingkaran di dua titik dan terletak di dalam lingkaran. Rumus garis singgung dalam dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung tersebut.

Variabel yang Digunakan

• r: jari-jari lingkaran
• (x₁, y₁): koordinat titik singgung pertama
• (x₂, y₂): koordinat titik singgung kedua
• m: gradien garis singgung

Rumus Garis Singgung Dalam

Persamaan garis singgung dalam yang menyinggung lingkaran di titik (x ₁ , y ₁ ) dan (x ₂ , y ₂ ) adalah:

$$y

• y_1 = m(x
• x_1)$$

di mana:

$$m = \fracy_2

• y_1x_2
• x_1$$

Aplikasi Rumus Garis Singgung Dalam

Rumus garis singgung dalam memiliki banyak aplikasi dalam geometri, khususnya untuk menentukan panjang sisi, tinggi, dan luas bangun datar.

Contoh Soal

Sebuah segitiga memiliki sisi a = 10 cm, b = 12 cm, dan c = 15 cm. Tentukan panjang garis singgung dalam yang ditarik dari titik sudut C .

Langkah-Langkah Penyelesaian

1. Gunakan rumus luas segitiga

K = s ( s

• a)(s
• b)(s
• c), di mana s = (a + b + c)/

2. 2. Hitung nilai s

s = (10 + 12 + 15)/2 = 18,5 cm.

• Substitusikan nilai s, a, b, dan c ke dalam rumus garis singgung dalam: t_c = K/(s
• c).

4. Hitung panjang garis singgung dalam

t _c = 18,5/(18,5

• 15) = 7,4 cm.

Jadi, panjang garis singgung dalam yang ditarik dari titik sudut C adalah 7,4 cm.

Prosedur Menghitung Garis Singgung Dalam

Garis singgung dalam suatu lingkaran adalah garis lurus yang menyinggung lingkaran pada dua titik berbeda. Prosedur untuk menghitung panjang garis singgung dalam adalah sebagai berikut:

Langkah-langkah Prosedur

1. Tentukan panjang jari-jari lingkaran (r).
2. Tentukan jarak antara titik pusat lingkaran dan titik singgung (d).
3. Gunakan rumus berikut untuk menghitung panjang garis singgung dalam (t):

$$t = \sqrtr^2

d^2$$

Contoh Penerapan

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 5 cm. Sebuah garis singgung dalam lingkaran tersebut menyinggung lingkaran pada jarak 3 cm dari titik pusat lingkaran. Hitunglah panjang garis singgung dalam.Menggunakan rumus di atas:$$t = \sqrt5^2

3^2$$

$$t = \sqrt25

9$$

$$t = \sqrt16$$$$t = 4$$Jadi, panjang garis singgung dalam adalah 4 cm.

Bukti Rumus Garis Singgung Dalam

Rumus garis singgung dalam didasarkan pada teorema berikut:

Teorema Garis Singgung Dalam

Dalam sebuah lingkaran, garis singgung dalam yang ditarik dari titik luar lingkaran ke dua titik potong lingkaran memiliki panjang yang sama.

Pembuktian Teorema

1. Misalkan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r.
2. Misalkan P adalah titik luar lingkaran, dan PA dan PB adalah dua garis singgung dalam dari P ke lingkaran.
3. Tariklah garis OP.
4. Karena OP adalah jari-jari lingkaran, maka OP = r.
5. Karena PA dan PB adalah garis singgung, maka OPA dan OPB adalah segitiga siku-siku dengan OP sebagai sisi miringnya.
6. Dengan teorema Pythagoras, kita memiliki:
   • OA² = OP²
     – PA²
   • OB² = OP²
     – PB²
7. Dari persamaan (6) dan (7), kita dapat menyimpulkan bahwa:

   OA ² – OB ² = PA ² – PB ²

8. Karena OA dan OB adalah jari-jari lingkaran, maka OA = OB = r. Oleh karena itu, persamaan (8) menjadi:

   0 = PA ² – PB ²

9. Persamaan (9) menyiratkan bahwa PA² = PB², yang berarti PA = PB.

Jadi, panjang garis singgung dalam yang ditarik dari titik luar lingkaran ke dua titik potong lingkaran adalah sama.

Pemungkas

Dengan demikian, rumus garis singgung dalam menjadi alat penting dalam geometri lingkaran, memberikan dasar untuk menghitung panjang garis singgung dan mengeksplorasi sifat-sifat geometris yang menarik. Pemahaman yang komprehensif tentang rumus ini sangat penting bagi siswa dan praktisi matematika, memungkinkan mereka untuk memecahkan masalah kompleks dan mengembangkan apresiasi yang lebih dalam terhadap keindahan dan kegunaan geometri.

Jawaban untuk Pertanyaan Umum

Apa perbedaan antara garis singgung dalam dan garis singgung luar?

Garis singgung dalam bersinggungan dengan lingkaran di dua titik, sedangkan garis singgung luar hanya bersinggungan dengan lingkaran di satu titik.

Bagaimana rumus garis singgung dalam diturunkan?

Rumus garis singgung dalam dapat diturunkan menggunakan teorema Pythagoras dan sifat-sifat segitiga.

Apa saja aplikasi praktis dari rumus garis singgung dalam?

Rumus garis singgung dalam digunakan dalam berbagai aplikasi, seperti menghitung panjang garis singgung pada roda, menentukan jarak antara dua titik pada lingkaran, dan memecahkan masalah geometri yang melibatkan lingkaran.