Aljabar, cabang matematika yang menggabungkan konsep aritmatika dan geometri, memainkan peran penting dalam kehidupan kita sehari-hari. Dari memecahkan teka-teki hingga memprediksi tren, aljabar memberikan alat yang ampuh untuk memahami dan memanipulasi dunia di sekitar kita.

Dalam rangkuman ini, kita akan mengeksplorasi konsep dasar aljabar, operasi dasar, persamaan, pertidaksamaan, fungsi, grafik, dan persamaan kuadrat. Dengan menguasai materi ini, siswa akan mengembangkan keterampilan berpikir kritis, pemecahan masalah, dan analitis yang penting untuk kesuksesan akademis dan karier.

Konsep Dasar Aljabar

Aljabar adalah cabang matematika yang menggunakan simbol, seperti huruf, untuk mewakili bilangan dan operasi. Ini memungkinkan kita untuk menggeneralisasi pola dan hubungan dalam matematika.

Dalam aljabar, kita menggunakan:

• Variabel: Simbol yang mewakili bilangan yang tidak diketahui atau dapat berubah, biasanya diwakili oleh huruf seperti x, y, atau z.
• Konstanta: Simbol yang mewakili bilangan tetap, biasanya diwakili oleh huruf kapital seperti A, B, atau C.
• Operasi Dasar: Penjumlahan (+), pengurangan (-), perkalian (*), dan pembagian (/).

Operasi aljabar mengikuti sifat-sifat berikut:

• Sifat Komutatif: Mengubah urutan operasi tidak mengubah hasilnya (misalnya, a + b = b + a).
• Sifat Asosiatif: Mengelompokkan operasi tidak mengubah hasilnya (misalnya, (a + b) + c = a + (b + c)).
• Sifat Distributif: Mengalikan jumlah dengan suatu bilangan sama dengan menjumlahkan hasil kali masing-masing bilangan (misalnya, a(b + c) = ab + ac).
• Sifat Identitas: Menambahkan atau mengalikan bilangan apa pun dengan 0 atau 1 tidak mengubah hasilnya (misalnya, a + 0 = a, a
  – 1 = a).

Operasi Dasar Aljabar

Operasi dasar aljabar adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi ini dilakukan pada ekspresi aljabar yang terdiri dari variabel dan konstanta.

Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan adalah operasi yang menggabungkan atau mengurangi nilai dua atau lebih ekspresi. Aturannya adalah sebagai berikut:

• Untuk suku sejenis (variabel sama), koefisien dijumlahkan atau dikurangkan.
• Untuk suku tidak sejenis (variabel berbeda), ekspresi tetap ditulis berdampingan dengan tanda tambah atau kurang.

Contoh:

• 3x + 5x = 8x
• x²
  – 2x + 3
  – 5x = x²
  – 7x + 3

Perkalian

Perkalian menggabungkan dua atau lebih ekspresi menjadi satu ekspresi baru. Aturannya adalah sebagai berikut:

• Konstanta dikalikan variabel menghasilkan variabel baru.
• Variabel dikalikan variabel menghasilkan variabel baru dengan pangkat yang dijumlahkan.

Contoh:

• 2x · 3y = 6xy
• x² · x³ = x⁵

Pembagian

Pembagian adalah operasi yang membagi satu ekspresi dengan ekspresi lainnya. Aturannya adalah sebagai berikut:

• Pembagian konstanta dengan variabel menghasilkan variabel baru dengan pangkat negatif.
• Pembagian variabel dengan variabel menghasilkan variabel baru dengan pangkat pengurang.

Contoh:

• 12x² ÷ 3x = 4x
• x³ ÷ x² = x

Operasi dengan Tanda Kurung

Tanda kurung digunakan untuk mengelompokkan ekspresi dan menunjukkan urutan operasi. Operasi dalam tanda kurung harus dilakukan terlebih dahulu.

Contoh:

• 2(x + 3) = 2x + 6
• (x
  – 2)² = x²
  – 4x + 4

Urutan Operasi

Ketika sebuah ekspresi mengandung beberapa operasi, operasi harus dilakukan dalam urutan tertentu, yaitu:

1. Tanda kurung
2. Pangkat
3. Perkalian dan pembagian (dari kiri ke kanan)
4. Penjumlahan dan pengurangan (dari kiri ke kanan)

Persamaan dan Pertidaksamaan

Dalam aljabar, persamaan dan pertidaksamaan adalah dua konsep fundamental yang digunakan untuk mewakili hubungan antara variabel.

Persamaan

Persamaan adalah pernyataan matematika yang menyatakan bahwa dua ekspresi aljabar memiliki nilai yang sama. Persamaan ditulis dalam bentuk ax + b = c, di mana a, b, dan c adalah bilangan real dan x adalah variabel yang tidak diketahui.

Langkah-langkah Menyelesaikan Persamaan

1. Tambahkan atau kurangi bilangan yang sama ke kedua sisi persamaan.
2. Kalikan atau bagi kedua sisi persamaan dengan bilangan yang sama (selain 0).
3. Sederhanakan persamaan dengan menggabungkan suku sejenis.

Himpunan Penyelesaian

Himpunan penyelesaian persamaan adalah nilai x yang membuat persamaan menjadi benar.

Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah pernyataan matematika yang menyatakan bahwa dua ekspresi aljabar tidak sama. Pertidaksamaan ditulis dalam bentuk ax + b < c, ax + b > c, ax + b ≤ c, atau ax + b ≥ c.

Langkah-langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan

1. Tambahkan atau kurangi bilangan yang sama ke kedua sisi pertidaksamaan.
2. Kalikan atau bagi kedua sisi pertidaksamaan dengan bilangan yang sama (selain 0), dengan membalik tanda pertidaksamaan jika mengalikan/membagi dengan bilangan negatif.
3. Sederhanakan pertidaksamaan dengan menggabungkan suku sejenis.

Himpunan Penyelesaian

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah nilai x yang membuat pertidaksamaan menjadi benar.

Fungsi dan Grafik

Dalam aljabar, fungsi adalah hubungan antara dua himpunan, di mana setiap elemen dari himpunan pertama (disebut domain) dipetakan ke tepat satu elemen dari himpunan kedua (disebut kodomain). Fungsi dapat direpresentasikan menggunakan notasi f(x) = y, di mana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat.

Jenis-Jenis Fungsi

• Fungsi Linier: f(x) = mx + c, di mana m adalah gradien dan c adalah titik potong y.
• Fungsi Kuadrat: f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah konstanta.
• Fungsi Kubik: f(x) = ax³ + bx² + cx + d, di mana a, b, c, dan d adalah konstanta.
• Fungsi Polinomial: f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀, di mana a_n, a_n-1, …, a₁, dan a₀ adalah konstanta.

Membuat Grafik Fungsi

Grafik fungsi dapat dibuat dengan memplot titik-titik yang memenuhi persamaan fungsi. Untuk fungsi linier, grafiknya adalah garis lurus. Untuk fungsi kuadrat, grafiknya adalah parabola. Untuk fungsi kubik, grafiknya adalah kurva berbentuk S. Untuk fungsi polinomial, grafiknya bervariasi tergantung pada pangkat polinomial.

Hubungan Grafik dan Sifat Fungsi

Grafik fungsi dapat memberikan informasi tentang sifat-sifat fungsi, seperti apakah fungsi tersebut naik atau turun, apakah fungsi tersebut memiliki titik maksimum atau minimum, dan apakah fungsi tersebut simetris terhadap sumbu x atau y.

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua yang berbentuk ax ² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah konstanta real dan a tidak sama dengan 0.

Rumus Penyelesaian

Rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ax ² + bx + c = 0 adalah:x = (-b ± √(b ²

4ac)) / 2a

Menentukan Jumlah dan Jenis Akar

Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat ax ² + bx + c = 0 digunakan untuk menentukan jumlah dan jenis akarnya:

• Jika D > 0, persamaan memiliki dua akar real dan berbeda.
• Jika D = 0, persamaan memiliki satu akar real berulang.

– Jika D < 0, persamaan tidak memiliki akar real.

Contoh Soal

Selesaikan persamaan kuadrat berikut: x ²

5x + 6 = 0

Langkah 1: Identifikasi nilai a, b, dan ca = 1, b =

5, c = 6

Langkah 2: Hitung diskriminanD = (-5) ²

4(1)(6) = 1

Langkah 3: Substitusikan nilai D ke dalam rumus kuadratx = (-(-5) ± √1) / 2(1)x = (5 ± 1) / 2Langkah 4: Selesaikanx ₁ = (5 + 1) / 2 = 3x ₂ = (5

1) / 2 = 2

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat x ²

5x + 6 = 0 adalah x = 3 dan x = 2.

Ringkasan Akhir

Dengan memahami materi aljabar kelas 7, siswa akan memperoleh landasan yang kuat untuk studi matematika lanjutan dan aplikasi di berbagai bidang. Aljabar bukan hanya sekadar kumpulan aturan dan rumus, tetapi juga cara berpikir yang membantu kita memodelkan, menganalisis, dan memecahkan masalah kompleks dalam dunia nyata.

Sudut Pertanyaan Umum (FAQ)

Apa perbedaan antara variabel dan konstanta?

Variabel adalah simbol yang mewakili nilai yang dapat berubah, sedangkan konstanta adalah simbol yang mewakili nilai tetap.

Apa itu persamaan dan bagaimana menyelesaikannya?

Persamaan adalah pernyataan bahwa dua ekspresi aljabar bernilai sama. Untuk menyelesaikan persamaan, kita melakukan operasi aljabar pada kedua sisi persamaan untuk mengisolasi variabel.

Apa itu fungsi dan bagaimana membuat grafiknya?

Fungsi adalah hubungan antara dua variabel, di mana setiap nilai variabel input menghasilkan satu nilai variabel output. Untuk membuat grafik fungsi, kita membuat tabel nilai, menghubungkan titik-titik, dan menggambar garis atau kurva yang sesuai.