Dalam matematika, barisan aritmatika bertingkat merupakan barisan yang memiliki perbedaan suku-sukunya membentuk barisan aritmatika. Barisan ini memiliki pola yang teratur dan dapat dimodelkan menggunakan rumus khusus.

Memahami rumus barisan aritmatika bertingkat sangat penting untuk menyelesaikan masalah dan mengaplikasikan konsep ini dalam berbagai bidang. Artikel ini akan menyajikan panduan lengkap tentang rumus tersebut, termasuk cara mencari suku ke-n, contoh soal, dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.

Pengertian Barisan Aritmatika Bertingkat

Barisan aritmatika bertingkat adalah barisan bilangan yang terdiri dari beberapa barisan aritmatika, di mana setiap barisan berikutnya dimulai dengan suku pertama yang lebih besar satu dari suku terakhir barisan sebelumnya.

Contoh barisan aritmatika bertingkat:

• 1, 3, 5, 7, 9
• 2, 5, 8, 11, 14
• 3, 7, 11, 15, 19

Rumus Barisan Aritmatika Bertingkat

Barisan aritmatika bertingkat adalah barisan aritmatika yang suku-sukunya merupakan hasil kali suku pertama dengan pangkat tertentu dari beda.

Rumus umum barisan aritmatika bertingkat adalah:

$$U_n = a \cdot r^n-1$$

dengan:

• $U_n$ adalah suku ke-$n$
• $a$ adalah suku pertama
• $r$ adalah beda
• $n$ adalah nomor suku

Cara Mencari Suku ke-n

Untuk mencari suku ke-n (Un) barisan aritmatika bertingkat, ikuti langkah-langkah berikut:

• Tentukan suku pertama (U1) dan beda pertama (b1) dari barisan aritmatika pertama.
• Tentukan suku pertama (U2) dan beda kedua (b2) dari barisan aritmatika kedua.
• Tentukan suku pertama (U3) dan beda ketiga (b3) dari barisan aritmatika ketiga, dan seterusnya.
• Gunakan rumus suku ke-n barisan aritmatika untuk mencari suku ke-n (Un) pada masing-masing barisan aritmatika.

Rumus dan Contoh untuk Mencari Suku ke-n Barisan Aritmatika Bertingkat

Barisan Aritmatika	Rumus Suku ke-n	Contoh
Barisan Pertama	Un = U1 + (n 1) b1	U5 = 10 + (5 1) 2 = 18
Barisan Kedua	Un = U2 + (n 1) b2	U4 = 5 + (4 1) 3 = 16
Barisan Ketiga	Un = U3 + (n 1) b3	U3 = 2 + (3 1) 4 = 10

Contoh Soal dan Pembahasan

Untuk memahami penerapan rumus barisan aritmatika bertingkat, mari kita bahas contoh soal berikut:

Contoh Soal

Sebuah bola dilemparkan vertikal ke atas dari ketinggian 100 meter dengan kecepatan awal 20 m/s. Setiap detik, kecepatan bola berkurang sebesar 10 m/s karena hambatan udara. Tentukan tinggi bola setelah 3 detik.

Langkah-langkah Penyelesaian

1. Menentukan nilai suku pertama (a): a = 100
2. Menentukan beda (b): b =
   

   10 (kecepatan berkurang)

3. Menentukan suku ke-n (n): n = 3
4. Menggunakan rumus suku ke-n barisan aritmatika bertingkat: Sn = a + (n
   

   1)b

5. Menghitung tinggi bola setelah 3 detik: S3 = 100 + (3
   

   1)(-10) = 80 meter

Penerapan Rumus

Rumus barisan aritmatika bertingkat memiliki berbagai penerapan dalam kehidupan sehari-hari, khususnya dalam bidang matematika, sains, dan ekonomi.

Beberapa contoh penerapannya antara lain:

Bidang Matematika

• Mencari jumlah deret aritmatika bertingkat
• Menentukan suku ke-n dalam deret aritmatika bertingkat
• Memecahkan masalah geometri yang melibatkan deret aritmatika bertingkat

Bidang Sains

• Memprediksi pertumbuhan populasi bakteri
• Memodelkan peluruhan radioaktif
• Menghitung kecepatan benda yang bergerak dengan percepatan konstan

Bidang Ekonomi

• Menganalisis tren pasar saham
• Memprediksi inflasi
• Menghitung bunga majemuk

Ilustrasi Grafik

Ilustrasi grafik memberikan representasi visual dari pola barisan aritmatika bertingkat, sehingga memudahkan pemahaman konsepnya.

Grafik ini menggambarkan garis lurus yang mewakili urutan bilangan dalam barisan. Garis lurus ini memiliki kemiringan yang konstan, menunjukkan selisih konstan antara setiap suku.

Contoh Grafik

Misalkan kita memiliki barisan aritmatika bertingkat dengan suku pertama 2 dan selisih 3. Grafiknya akan terlihat seperti ini:

Pada grafik ini, sumbu x mewakili nomor suku, sedangkan sumbu y mewakili nilai suku. Titik-titik pada garis menunjukkan nilai suku yang sesuai.

Akhir Kata

Dengan memahami rumus barisan aritmatika bertingkat, kita dapat menyelesaikan berbagai masalah matematika dan menerapkannya dalam berbagai bidang. Rumus ini menjadi alat yang ampuh untuk menganalisis pola dan memprediksi nilai-nilai masa depan dalam barisan tersebut.

Pertanyaan dan Jawaban

Apa perbedaan antara barisan aritmatika dan barisan aritmatika bertingkat?

Pada barisan aritmatika, beda antar suku-suku adalah konstan. Sementara pada barisan aritmatika bertingkat, beda antar suku-suku membentuk barisan aritmatika.

Bagaimana cara mencari suku ke-n barisan aritmatika bertingkat?

Gunakan rumus Un = a + (n-1)(d1 + (n-2)(d2 + … + (n-p)(dp)))