Dalam matematika, barisan aritmatika merupakan urutan bilangan yang memiliki selisih yang sama antar suku berurutannya. Barisan ini banyak ditemukan dalam berbagai aspek kehidupan, seperti menghitung pertumbuhan populasi atau menentukan jarak tempuh kendaraan.

Untuk memahami konsep barisan aritmatika lebih lanjut, mari kita bahas beberapa contoh soal yang akan memberikan pemahaman mendalam tentang sifat dan penerapannya.

Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang memiliki beda yang sama antara suku-suku yang berurutan. Beda barisan aritmatika dilambangkan dengan huruf d.

Suku pertama barisan aritmatika dilambangkan dengan a. Rumus untuk menghitung suku ke-n barisan aritmatika adalah:

Un = a + (n

1)d

Dimana:

• Un adalah suku ke-n
• a adalah suku pertama
• n adalah nomor urut suku
• d adalah beda

Contoh Soal

Diketahui barisan aritmatika dengan suku pertama 5 dan beda 3. Tentukan suku ke-10 dari barisan tersebut.

Penyelesaian:

Gunakan rumus suku ke-n barisan aritmatika:

U10 = 5 + (10

1)3

U10 = 5 + 9(3)

U10 = 5 + 27

U10 = 32

Jadi, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah 32.

Sifat Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika memiliki sifat-sifat khusus yang membedakannya dari jenis barisan lainnya. Sifat-sifat ini berguna untuk menyelesaikan berbagai permasalahan yang melibatkan barisan aritmatika.

Jumlah Dua Suku Berurutan

Jumlah dua suku berurutan dalam barisan aritmatika sama dengan dua kali suku tengahnya. Secara matematis, dapat dinyatakan sebagai berikut:$$a_n + a_n+1 = 2a_n+1/2$$di mana:* $$a_n$$ adalah suku ke-n

• $$a_n+1$$ adalah suku ke-(n+1)
• $$a_n+1/2$$ adalah suku tengah antara suku ke-n dan ke-(n+1)

Jumlah n Suku Pertama

Jumlah n suku pertama dalam barisan aritmatika dapat dihitung menggunakan rumus berikut:$$S_n = \fracn2(a_1 + a_n)$$di mana:* $$S_n$$ adalah jumlah n suku pertama

• $$a_1$$ adalah suku pertama
• $$a_n$$ adalah suku ke-n

Rumus Beda

Rumus beda (d) dalam barisan aritmatika adalah selisih antara dua suku berurutan. Rumus beda dapat dihitung menggunakan rumus berikut:$$d = a_n+1

a_n$$

di mana:* $$d$$ adalah rumus beda

• $$a_n$$ adalah suku ke-n
• $$a_n+1$$ adalah suku ke-(n+1)

Sifat-sifat ini sangat penting untuk memahami dan menyelesaikan masalah yang melibatkan barisan aritmatika.

Mencari Suku Barisan Aritmatika

Dalam barisan aritmatika, setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan menambahkan beda (selisih antar suku) ke suku sebelumnya. Rumus suku ke-n barisan aritmatika digunakan untuk mencari nilai suku tertentu dalam barisan.

Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

Rumus suku ke-n (Un) barisan aritmatika adalah:

Un = a + (n – 1) – b

di mana:

• a adalah suku pertama barisan
• b adalah beda barisan
• n adalah nomor suku yang dicari

Tabel Cara Mencari Suku ke-n

Berikut tabel yang menunjukkan cara mencari suku ke-n untuk berbagai nilai n:| n | Cara Mencari ||—|—|| 1 | Un = a || 2 | Un = a + b || 3 | Un = a + 2b || … | … || n | Un = a + (n

• 1)
• b |

Contoh Soal

Soal: Carilah suku ke-5 dari barisan aritmatika 3, 7, 11, 15, …Jawab:

• Suku pertama (a) = 3
• Beda (b) = 7
• 3 = 4

Menggunakan rumus suku ke-n

Un = a + (n

• 1)
• b

U5 = 3 + (5

• 1)
• 4

U5 = 3 + 16U5 =

*21

Jadi, suku ke-5 dari barisan tersebut adalah 21.

Mencari Beda Barisan Aritmatika

Dalam barisan aritmatika, beda adalah selisih antara dua suku berurutan. Mengetahui beda sangat penting untuk memahami pola dan sifat barisan aritmatika.

Mencari Beda Menggunakan Dua Suku Berurutan

Beda barisan aritmatika dapat dicari menggunakan dua suku berurutan, yaitu:

• Misalkan suku ke-n adalah a_n dan suku ke-(n+1) adalah a_n+1.
• Maka, beda (b) adalah selisih antara a_n+1 dan a_n:
• b = a_n+1
  – a_n

Mencari Beda Menggunakan Rumus Beda

Rumus beda juga dapat digunakan untuk mencari beda barisan aritmatika:

b = ( a _n – a ₁ ) / ( n – 1)

Dimana:

• b adalah beda barisan aritmatika
• a_n adalah suku ke-n
• a₁ adalah suku pertama
• n adalah nomor suku

Contoh Soal

Tentukan beda barisan aritmatika berikut:

5, 8, 11, 14, …

Menggunakan Dua Suku Berurutan:

a _n+1 = 14

a _n = 11

b = a _n+1 – a _n

b = 14 – 11

b = 3

Menggunakan Rumus Beda:

a _n = 14

a ₁ = 5

n = 5

b = ( a _n – a ₁ ) / ( n – 1)

b = (14 – 5) / (5 – 1)

b = 9 / 4

b = 3

Jadi, beda barisan aritmatika tersebut adalah 3.

Aplikasi Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika memiliki berbagai aplikasi dalam kehidupan nyata, termasuk menghitung jumlah uang dalam tabungan, menentukan jarak tempuh kendaraan, dan memprediksi hasil suatu proses.

Aplikasi dalam Keuangan

• Menghitung jumlah uang dalam tabungan: Jika seseorang menabung sejumlah uang tetap setiap bulan, maka jumlah uang dalam tabungan dapat dihitung menggunakan barisan aritmatika.
• Menghitung bunga pinjaman: Bunga pinjaman sering dihitung menggunakan barisan aritmatika, dengan suku pertama adalah jumlah pinjaman dan beda adalah bunga yang dikenakan setiap periode.

Aplikasi dalam Fisika

• Menentukan jarak tempuh kendaraan: Jika sebuah kendaraan bergerak dengan kecepatan konstan, maka jarak yang ditempuh dapat dihitung menggunakan barisan aritmatika, dengan suku pertama adalah jarak awal dan beda adalah kecepatan.
• Menghitung percepatan: Percepatan suatu benda dapat dihitung menggunakan barisan aritmatika, dengan suku pertama adalah kecepatan awal dan beda adalah perubahan kecepatan per satuan waktu.

Aplikasi dalam Statistik

• Memprediksi hasil suatu proses: Jika suatu proses mengikuti pola linier, maka hasil proses tersebut dapat diprediksi menggunakan barisan aritmatika.
• Menghitung rata-rata suatu deret data: Rata-rata suatu deret data dapat dihitung menggunakan barisan aritmatika, dengan suku pertama adalah nilai pertama dan beda adalah selisih antara nilai-nilai yang berurutan.

Kesimpulan Akhir

Melalui contoh soal yang telah dibahas, kita dapat memahami dengan baik konsep barisan aritmatika, sifat-sifatnya, dan aplikasinya dalam kehidupan nyata. Dengan menguasai materi ini, siswa SMA dapat menyelesaikan masalah matematika yang berkaitan dengan barisan aritmatika dengan percaya diri dan akurat.

Jawaban yang Berguna

Pertanyaan: Bagaimana cara mencari suku ke-n barisan aritmatika?

Jawaban: Gunakan rumus suku ke-n: Un = a + (n – 1)b, di mana a adalah suku pertama, b adalah beda, dan n adalah nomor suku yang dicari.

Pertanyaan: Apa saja sifat-sifat barisan aritmatika?

Jawaban: Jumlah dua suku berurutan sama dengan dua kali suku tengah, jumlah n suku pertama sama dengan n/2 (a + Un), dan beda barisan dapat dicari menggunakan rumus b = (Un – a) / (n – 1).

Pertanyaan: Bagaimana cara menentukan beda barisan aritmatika?

Jawaban: Gunakan dua suku berurutan dan kurangkan suku kedua dengan suku pertama, atau gunakan rumus beda: b = (Un – a) / (n – 1).