Dalam geometri, konsep garis singgung lingkaran luar memegang peranan penting dalam menyelesaikan berbagai permasalahan. Garis singgung lingkaran luar adalah garis yang menyinggung lingkaran pada satu titik, tetapi tidak memotongnya. Memahami rumus dan penerapannya sangat penting untuk memecahkan masalah geometri yang kompleks.

Rumus garis singgung lingkaran luar menyediakan alat yang ampuh untuk menentukan kemiringan dan persamaan garis yang menyinggung lingkaran dari titik tertentu. Rumus ini juga dapat digunakan untuk memecahkan berbagai masalah, seperti menentukan persamaan garis singgung yang melalui dua titik yang berada di luar lingkaran atau menghitung jarak dari titik ke garis singgung.

Pengertian Garis Singgung Lingkaran Luar

Garis singgung lingkaran luar adalah garis lurus yang bersinggungan dengan lingkaran di satu titik. Titik singgung tersebut merupakan titik yang terletak pada keliling lingkaran dan garis singgung tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang ditarik ke titik singgung.

Ilustrasi garis singgung lingkaran luar:

Rumus Garis Singgung Lingkaran Luar

Garis singgung lingkaran luar segitiga adalah garis yang menyinggung lingkaran luar segitiga pada satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari yang melalui titik tersebut.

Rumus Umum

Rumus umum garis singgung lingkaran luar segitiga dengan titik singgung T(x _T , y _T ) adalah:

x(x _T

• x_O) + y(y_T
• y_O) = r(x_Tx_O + y_Ty_O)

di mana:

• x_O, y_O adalah koordinat pusat lingkaran luar
• r adalah jari-jari lingkaran luar

Tabel Rumus Garis Singgung Lingkaran Luar

Sisi	Rumus
AB	y = mx + cAB
BC	y = mx + cBC
CA	y = mx + cCA

dengan:

• m adalah gradien garis
• c adalah konstanta garis

Penerapan Rumus Garis Singgung Lingkaran Luar

Rumus garis singgung lingkaran luar merupakan alat yang ampuh untuk menyelesaikan masalah geometri yang melibatkan lingkaran. Rumus ini dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran dari titik luar.

Persamaan garis singgung lingkaran luar diberikan oleh:

y

• y₀ = (x
• x₀)m_t ± r√(1 + m_t²)

di mana (x ₀ , y ₀ ) adalah koordinat titik singgung, m _t adalah gradien garis singgung, dan r adalah jari-jari lingkaran.

Contoh Soal

Misalkan terdapat lingkaran dengan pusat (2, 3) dan jari-jari 5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang menyinggung lingkaran dari titik (7, 8).

Solusi

Pertama, kita hitung gradien garis yang menghubungkan titik pusat dan titik singgung:

m _t = (8

• 3) / (7
• 2) = 1

Selanjutnya, kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus garis singgung:

y

• 8 = (x
• 7)(1) ± 5√(1 + 1²)

y

• 8 = x
• 7 ± 5√2

y = x

7 ± 5√2 + 8

y = x + 1 ± 5√2

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang menyinggung lingkaran dari titik (7, 8) adalah y = x + 1 ± 5√2.

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut adalah beberapa contoh soal yang berkaitan dengan garis singgung lingkaran luar:

Soal 1

Sebuah lingkaran memiliki pusat di titik (2, 3) dan jari-jari 5 cm. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (7, 1).

Pembahasan:

1. Hitung jarak dari titik (7, 1) ke pusat lingkaran:

d = √[(7 – 2)² + (1 – 3)²] = √50 = 5√2 cm

2. Gunakan rumus garis singgung lingkaran luar:

y – y ₁ = m(x – x ₁ ) ± r

di mana:

• (x₁, y₁) = (7, 1)
• m = gradien garis singgung = ±√(d²
  – r²)/r = ±√(50
  – 25)/5 = ±1
• r = jari-jari lingkaran = 5 cm
3. Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:

y – 1 = ±1(x – 7) ± 5

4. Sederhanakan persamaan:

y = ±x – 6 ± 5

5. Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (7, 1) adalah:

y = x – 1 atau y = -x + 11

Cara Menghitung Garis Singgung Lingkaran Luar

Garis singgung lingkaran luar adalah garis yang menyinggung lingkaran pada satu titik dan tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung tersebut. Untuk menghitung garis singgung lingkaran luar, ikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Tentukan Pusat Lingkaran

Tentukan titik pusat lingkaran (O) dengan mencari titik tengah dari garis yang menghubungkan dua titik sembarang pada lingkaran.

Langkah 2: Tentukan Titik Singgung

Tentukan titik singgung (P) dengan menggambar garis lurus yang menyinggung lingkaran. Titik singgung adalah titik di mana garis tersebut menyinggung lingkaran.

Langkah 3: Gambar Jari-jari ke Titik Singgung

Gambarlah jari-jari lingkaran (OP) dari titik pusat lingkaran ke titik singgung.

Langkah 4: Tentukan Persamaan Garis Jari-jari

Tentukan persamaan garis jari-jari menggunakan persamaan garis melalui dua titik (O dan P):

“`y

• y1 = (y2
• y1) / (x2
• x1)
• (x
• x1)

“`di mana (x1, y1) adalah koordinat titik O dan (x2, y2) adalah koordinat titik P.

Langkah 5: Tentukan Kemiringan Garis Singgung

Kemiringan garis singgung (m) tegak lurus terhadap kemiringan garis jari-jari. Oleh karena itu, kemiringan garis singgung adalah:

“`m =

1 / kemiringan garis jari-jari

“`

Langkah 6: Tentukan Persamaan Garis Singgung

Tentukan persamaan garis singgung menggunakan persamaan garis melalui titik (P) dengan kemiringan m:

“`y

• y1 = m
• (x
• x1)

“`di mana (x1, y1) adalah koordinat titik P dan m adalah kemiringan garis singgung.

Tips dan Trik

Mengidentifikasi dan menghitung garis singgung lingkaran luar dapat dipermudah dengan mengikuti beberapa tips dan trik:

Memperhatikan Bentuk Soal

Dalam soal geometri, garis singgung lingkaran luar sering dikaitkan dengan bentuk-bentuk tertentu, seperti segitiga, segi empat, atau lingkaran lainnya. Perhatikan bentuk-bentuk ini untuk membantu mengidentifikasi garis singgung yang dicari.

Mencari Titik Singgung

Garis singgung lingkaran selalu tegak lurus dengan jari-jari yang menghubungkan titik singgung dengan pusat lingkaran. Identifikasi titik singgung dengan mencari titik yang terletak pada lingkaran dan membentuk sudut siku-siku dengan jari-jari.

Menggunakan Persamaan Garis

Persamaan garis singgung lingkaran luar dapat digunakan untuk menghitung panjang dan kemiringan garis. Persamaan ini umumnya dalam bentuk:

y = mx + c

di mana:

• m adalah kemiringan garis
• c adalah titik potong garis dengan sumbu y

Akhir Kata

Rumus garis singgung lingkaran luar merupakan alat yang penting dalam geometri, memungkinkan kita untuk menganalisis dan menyelesaikan masalah yang melibatkan garis dan lingkaran. Dengan memahami konsep, rumus, dan penerapannya, kita dapat memecahkan masalah geometri yang kompleks dengan lebih efisien dan akurat.

Jawaban untuk Pertanyaan Umum

Apa saja jenis-jenis garis singgung lingkaran?

Ada dua jenis garis singgung lingkaran: garis singgung dalam dan garis singgung luar. Garis singgung dalam menyinggung lingkaran dari dalam, sedangkan garis singgung luar menyinggung lingkaran dari luar.

Bagaimana cara menentukan apakah suatu garis merupakan garis singgung lingkaran?

Suatu garis merupakan garis singgung lingkaran jika garis tersebut hanya menyinggung lingkaran pada satu titik dan tidak memotongnya.

Apa perbedaan antara garis singgung dan garis potong lingkaran?

Garis singgung hanya menyinggung lingkaran pada satu titik, sedangkan garis potong memotong lingkaran pada dua titik.