Dalam matematika, barisan geometri memainkan peran penting sebagai urutan bilangan yang memiliki pola perkalian yang konsisten. Artikel ini memberikan tinjauan mendalam tentang ciri-ciri barisan geometri, menyoroti aspek-aspek penting yang mendefinisikan sifat unik mereka.

Barisan geometri dicirikan oleh rasio konstan yang menghubungkan suku-sukunya yang berurutan. Sifat ini membedakannya dari barisan lainnya dan mengarah pada berbagai aplikasi praktis di berbagai bidang.

Pengertian Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang setiap sukunya merupakan hasil perkalian suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio.

Rumus suku ke-n barisan geometri adalah:

$$a_n = a_1 \cdot r^n-1$$

di mana:

• $a_n$ adalah suku ke-$n$
• $a_1$ adalah suku pertama
• $r$ adalah rasio
• $n$ adalah nomor suku

Ciri-Ciri Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan sebuah konstanta yang disebut rasio. Berikut adalah ciri-ciri barisan geometri:

Rasio

• Rasio (r) adalah konstanta yang sama untuk semua suku barisan.
• Rasio dapat bernilai positif atau negatif.
• Jika r > 1, barisan disebut barisan geometri naik.
• Jika r < 1, barisan disebut barisan geometri turun.

Suku Pertama

• Suku pertama (a₁) adalah suku awal barisan.
• Suku pertama menentukan nilai semua suku berikutnya dalam barisan.

Beda Suku

• Beda suku (d) adalah selisih antara dua suku yang berurutan.
• Dalam barisan geometri, beda suku selalu sama dan merupakan hasil perkalian rasio dengan suku sebelumnya.
• Dengan kata lain, d = a_n+1
  – a_n = r
  – a_n

Contoh Barisan Geometri

Berikut ini beberapa contoh barisan geometri yang memenuhi ciri-ciri yang telah disebutkan:

Contoh 1

• Barisan 2, 6, 18, 54, 162, …
• Rasio: 3
• Suku ke-n: a_n = 2
  – 3^n-1

Contoh 2

• Barisan 10, 5, 2,5, 1,25, …
• Rasio: 0,5
• Suku ke-n: a_n = 10
  – 0,5^n-1

Contoh 3

• Barisan
  -4,
  -8,
  -16,
  -32,
  -64, …
• Rasio: 2
• Suku ke-n: a_n =
  -4
  – 2^n-1

Sifat Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan sebuah bilangan tetap yang disebut rasio umum (r). Barisan geometri memiliki sifat-sifat khusus yang membedakannya dari barisan lainnya.

Jumlah Suku Hingga Tak Hingga

Jumlah suku hingga n dari barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio umum r diberikan oleh rumus:

S _n = a(1

• rⁿ) / (1
• r)

Jika |r| < 1, maka barisan geometri bersifat konvergen dan jumlah sukunya hingga tak hingga (S _∞ ) diberikan oleh:

S _∞ = a / (1

r)

Nilai Limit

Jika |r|< 1, maka barisan geometri bersifat konvergen dan limitnya adalah:

lim _n→∞ a _n = 0

Sedangkan jika |r| > 1, maka barisan geometri bersifat divergen dan limitnya tidak ada.

Aplikasi Barisan Geometri

Barisan geometri memiliki banyak aplikasi di berbagai bidang, antara lain:

Keuangan

* Perhitungan bunga majemuk: Bunga majemuk merupakan aplikasi barisan geometri yang paling umum, di mana bunga yang diperoleh pada setiap periode dijumlahkan ke pokok awal, sehingga menghasilkan bunga yang semakin besar pada periode berikutnya.

Pembayaran cicilan

Pembayaran cicilan yang sama setiap bulan atau tahun dapat dimodelkan sebagai barisan geometri, di mana suku pertama adalah pembayaran pertama dan rasio adalah 1 ditambah tingkat bunga.

Fisika

* Gerak jatuh bebas: Jarak yang ditempuh oleh benda yang jatuh bebas membentuk barisan geometri, di mana suku pertama adalah jarak jatuh pada detik pertama dan rasio adalah percepatan gravitasi.

Peluruhan radioaktif

Peluruhan radioaktif dapat dimodelkan sebagai barisan geometri, di mana suku pertama adalah jumlah zat radioaktif awal dan rasio adalah konstanta peluruhan.

Biologi

* Pertumbuhan populasi: Pertumbuhan populasi dapat dimodelkan sebagai barisan geometri, di mana suku pertama adalah ukuran populasi awal dan rasio adalah tingkat pertumbuhan populasi.

Pembelahan sel

Pembelahan sel dapat dimodelkan sebagai barisan geometri, di mana suku pertama adalah jumlah sel awal dan rasio adalah faktor pembelahan.

Kesimpulan

Memahami ciri-ciri barisan geometri sangat penting untuk memanipulasi dan menganalisis urutan ini secara efektif. Pola perkalian yang konsisten memungkinkan kita untuk membuat prediksi, menghitung jumlah suku, dan mengevaluasi limitnya. Dengan demikian, barisan geometri menjadi alat yang ampuh untuk memecahkan masalah di berbagai bidang, mulai dari keuangan hingga fisika.

Ringkasan FAQ

Apa perbedaan antara barisan geometri dan barisan aritmatika?

Barisan aritmatika memiliki beda suku yang konstan, sedangkan barisan geometri memiliki rasio yang konstan.

Bagaimana cara menghitung rasio barisan geometri?

Rasio barisan geometri dapat dihitung dengan membagi suku mana pun dengan suku sebelumnya.

Apakah semua barisan geometri konvergen?

Tidak, barisan geometri hanya konvergen jika nilai absolut rasionya lebih kecil dari 1.