Persamaan kuadrat, suatu persamaan polinomial dengan pangkat tertinggi 2, merupakan fondasi aljabar dan memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang. Artikel ini mengulas secara komprehensif persamaan kuadrat x² – 5x + 6 = 0, mengeksplorasi metode penyelesaiannya, sifat akar-akarnya, dan penerapannya dalam kehidupan nyata.

Persamaan kuadrat umum memiliki bentuk ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah koefisien konstan. Untuk persamaan yang diberikan, koefisiennya adalah a = 1, b = -5, dan c = 6.

Persamaan Kuadrat x²

5x + 6 = 0

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial derajat dua dengan bentuk umum ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah konstanta real dan a ≠ 0.

Identifikasi Koefisien

Persamaan kuadrat yang diberikan adalah x² – 5x + 6 = 0. Dengan membandingkannya dengan bentuk umum, kita dapat mengidentifikasi koefisien sebagai berikut:

• a = 1
• b =
  -5
• c = 6

Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat merupakan persamaan yang memiliki bentuk umum ax ² + bx + c = 0, dengan a, b, dan c adalah konstanta real dan a tidak sama dengan

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, di antaranya:

Faktorisasi

Faktorisasi melibatkan penguraian persamaan kuadrat menjadi dua faktor linier. Langkah-langkahnya adalah:

• Temukan dua bilangan yang jumlahnya sama dengan b dan hasil kalinya sama dengan ac.
• Ganti bx dengan dua bilangan tersebut.
• Keluarkan faktor persekutuan dari kedua suku.
• Samakan kedua faktor dengan 0.
• Selesaikan kedua persamaan linier untuk x.

Melengkapkan Kuadrat

Melengkapkan kuadrat melibatkan penambahan dan pengurangan suatu bilangan tertentu pada kedua sisi persamaan untuk membuat suku kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Langkah-langkahnya adalah:

• Bagi persamaan dengan a.
• Pindahkan suku konstanta ke ruas kanan persamaan.
• Kuadratkan setengah dari koefisien b dan tambahkan ke kedua sisi persamaan.
• Faktorkan suku kuadrat menjadi bentuk (x + p)².
• Selesaikan persamaan untuk x.

Rumus Kuadrat

Rumus kuadrat adalah rumus umum yang dapat digunakan untuk menyelesaikan semua persamaan kuadrat. Rumusnya adalah:x = (-b ± √(b ²

4ac)) / 2a

di mana a, b, dan c adalah konstanta dari persamaan kuadrat ax ² + bx + c = 0.

Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai-nilai dari variabel yang membuat persamaan tersebut sama dengan nol. Dalam persamaan kuadrat bentuk ax² + bx + c = 0, akar-akarnya dapat ditemukan menggunakan beberapa metode.

Metode Memfaktorkan

Metode memfaktorkan melibatkan pemfaktoran sisi kiri persamaan menjadi dua faktor linear. Jika persamaan dapat difaktorkan menjadi (x + p)(x + q) = 0, maka akar-akarnya adalah x = -p dan x = -q.

Metode Kuadrat Lengkap

Metode kuadrat lengkap melibatkan melengkapi kuadrat di sisi kiri persamaan. Dengan menambahkan dan mengurangkan setengah dari koefisien b², persamaan dapat ditulis ulang sebagai (x + b/2)² – b²/4 + c = 0. Akar-akarnya kemudian dapat ditemukan menggunakan rumus kuadrat: x = -b/2 ± √(b²/4 – c).

Rumus Kuadrat

Rumus kuadrat memberikan rumus umum untuk menemukan akar-akar persamaan kuadrat: x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a.

Jenis-jenis Akar

Jenis-jenis akar persamaan kuadrat meliputi:

• Akar Nyata: Akar yang berupa bilangan riil.
• Akar Kompleks: Akar yang berupa bilangan kompleks (bilangan yang mengandung bagian riil dan imajiner).
• Akar Sama: Akar yang memiliki nilai yang sama.

Jenis akar yang diperoleh tergantung pada diskriminan, yaitu b² – 4ac. Jika diskriminan positif, ada dua akar nyata yang berbeda. Jika diskriminan nol, ada dua akar nyata yang sama. Jika diskriminan negatif, ada dua akar kompleks.

Aplikasi Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat memiliki berbagai aplikasi dalam kehidupan nyata, termasuk dalam fisika, geometri, dan analisis grafik.

Menentukan Jarak dan Waktu dalam Fisika

Persamaan kuadrat dapat digunakan untuk menentukan jarak dan waktu dalam fisika. Misalnya, dalam persamaan gerak:

s = ut + 1/2at ²

di mana s adalah jarak, u adalah kecepatan awal, a adalah percepatan, dan t adalah waktu.

Memecahkan Masalah Geometri

Persamaan kuadrat juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah geometri. Misalnya, untuk mencari luas persegi panjang dengan panjang x dan lebar y, kita dapat menggunakan persamaan:

Luas = xy

Jika kita tahu keliling persegi panjang adalah 20, kita dapat menggunakan persamaan kuadrat untuk mencari panjang dan lebarnya.

Menganalisis Grafik Fungsi Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat digunakan untuk menganalisis grafik fungsi kuadrat. Misalnya, persamaan kuadrat:

y = x ² + 2x + 1

akan menghasilkan parabola dengan titik puncak pada (-1, 0). Persamaan kuadrat dapat digunakan untuk menentukan titik puncak, sumbu simetri, dan titik potong dengan sumbu x dan y.

Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial dengan pangkat tertinggi 2. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola, yang dapat membuka ke atas atau ke bawah. Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum y = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah konstanta real dan a tidak sama dengan 0.Fungsi

kuadrat y = x²

5x + 6 dapat digambarkan dengan membuat tabel nilai atau menggunakan rumus fungsi kuadrat.

Titik Puncak

Titik puncak parabola adalah titik di mana fungsi mencapai nilai maksimum atau minimum. Koordinat titik puncak dapat dihitung menggunakan rumus x =

• b/2a. Untuk fungsi y = x²
• 5x + 6, titik puncaknya adalah (2,5/2).

Sumbu Simetri

Sumbu simetri parabola adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian simetris. Sumbu simetri dapat dihitung menggunakan rumus x =

• b/2a. Untuk fungsi y = x²
• 5x + 6, sumbu simetrinya adalah x = 2.

Titik Potong Sumbu x dan y

Titik potong sumbu x adalah titik di mana parabola memotong sumbu x. Titik potong sumbu x dapat dihitung dengan mensubstitusikan y = 0 ke dalam persamaan fungsi. Untuk fungsi y = x²

5x + 6, titik potong sumbu x adalah (2, 0) dan (3, 0).

Titik potong sumbu y adalah titik di mana parabola memotong sumbu y. Titik potong sumbu y dapat dihitung dengan mensubstitusikan x = 0 ke dalam persamaan fungsi. Untuk fungsi y = x²

5x + 6, titik potong sumbu y adalah (0, 6).

Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat

Sub-Kemonotonan

Fungsi kuadrat monoton naik untuk x < 2 dan monoton turun untuk x > 2.

Sub-Maksimum atau Minimum

Titik puncak parabola adalah titik maksimum jika a < 0 dan titik minimum jika a > 0. Untuk fungsi y = x²

5x + 6, karena a = 1 > 0, maka titik puncaknya adalah titik minimum.

Sub-Bentuk Parabola

Parabola membuka ke atas jika a > 0 dan membuka ke bawah jika a < 0. Untuk fungsi y = x² - 5x + 6, karena a = 1 > 0, maka parabola membuka ke atas.

Terakhir

Persamaan kuadrat x² – 5x + 6 = 0 menyediakan contoh yang sangat baik untuk memahami konsep persamaan kuadrat dan penerapannya. Dengan menggunakan berbagai metode penyelesaian, kita dapat menemukan akar-akar persamaan dan menganalisis sifat grafik fungsi kuadrat yang terkait.

Persamaan kuadrat terus memainkan peran penting dalam matematika dan sains, memberikan alat yang ampuh untuk menyelesaikan masalah kompleks dan memodelkan fenomena dunia nyata.

Bagian Pertanyaan Umum (FAQ)

Apa jenis-jenis akar persamaan kuadrat?

Persamaan kuadrat dapat memiliki akar nyata atau kompleks. Akar nyata adalah angka yang termasuk bilangan riil, sedangkan akar kompleks adalah angka yang melibatkan bilangan imajiner.

Bagaimana cara menentukan jumlah akar persamaan kuadrat?

Jumlah akar persamaan kuadrat ditentukan oleh diskriminan (b² – 4ac). Jika diskriminan positif, terdapat dua akar nyata berbeda. Jika diskriminan nol, terdapat satu akar ganda. Jika diskriminan negatif, tidak ada akar nyata.

Apa saja aplikasi persamaan kuadrat dalam kehidupan nyata?

Persamaan kuadrat memiliki banyak aplikasi dalam fisika, geometri, dan analisis fungsi. Misalnya, dalam fisika, persamaan kuadrat digunakan untuk menentukan jarak dan waktu dalam gerak parabola.