Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas yang banyak digunakan dalam statistika untuk memodelkan jumlah keberhasilan dalam serangkaian percobaan independen yang identik.

Konsep ini sangat penting dalam berbagai bidang, mulai dari kontrol kualitas hingga kedokteran, memberikan dasar untuk membuat prediksi dan menarik kesimpulan dari data yang diamati.

Pengertian Distribusi Binomial

Distribusi binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan dalam sejumlah percobaan independen yang identik, di mana setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil: keberhasilan atau kegagalan.

Contoh kasus nyata penggunaan distribusi binomial adalah menghitung probabilitas jumlah orang yang berhasil lulus ujian dari suatu kelas dengan 30 siswa, jika probabilitas lulus setiap siswa adalah 0,75.

Rumus Distribusi Binomial

Rumus distribusi binomial adalah sebagai berikut:

P(X = k) = (n! / (k!

• (n-k)!))
• p^k
• q^(n-k)

• X adalah variabel acak yang menyatakan jumlah keberhasilan
• n adalah jumlah percobaan
• k adalah jumlah keberhasilan yang diinginkan
• p adalah probabilitas keberhasilan
• q adalah probabilitas kegagalan (1
  – p)

Rumus Distribusi Binomial

Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit yang menggambarkan jumlah keberhasilan dalam serangkaian percobaan independen dan identik dengan probabilitas keberhasilan yang konstan. Rumus distribusi binomial diberikan oleh:$$P(X = x) = \binomnx p^x (1-p)^n-x$$di mana:

• $$P(X = x)$$ adalah probabilitas mendapatkan tepat $$x$$ keberhasilan
• $$n$$ adalah jumlah percobaan
• $$p$$ adalah probabilitas keberhasilan pada setiap percobaan

$$\binomnx$$ adalah koefisien binomial, yang dihitung sebagai

$$\binomnx = \fracn!x!(n-x)!$$

Aplikasi Distribusi Binomial

Distribusi binomial memiliki berbagai aplikasi dalam kehidupan nyata, di mana kita perlu memodelkan jumlah keberhasilan dalam serangkaian percobaan independen.

Beberapa contoh spesifik meliputi:

Pemeriksaan Kualitas

• Menghitung jumlah cacat dalam sampel produk yang diambil secara acak.
• Memastikan bahwa proporsi produk yang memenuhi standar kualitas tertentu.

Kedokteran

• Memprediksi kemungkinan pasien sembuh dari penyakit tertentu.
• Mengevaluasi efektivitas pengobatan baru dengan membandingkan tingkat keberhasilannya dengan plasebo.

Keuangan

• Memperkirakan jumlah pelanggan yang akan membeli produk baru.

li>Mengevaluasi risiko investasi dengan memodelkan jumlah kemungkinan hasil yang menguntungkan.

Ilmu Sosial

• Menghitung jumlah orang yang akan memilih kandidat tertentu dalam pemilihan.
• Memprediksi hasil survei dengan memperkirakan proporsi populasi yang memiliki pendapat tertentu.

Contoh Soal Distribusi Binomial

Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas yang digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan dalam serangkaian percobaan independen yang identik, di mana setiap percobaan memiliki peluang keberhasilan yang tetap.

Berikut ini adalah beberapa contoh soal distribusi binomial:

Contoh Soal 1

Sebuah koin dilempar 10 kali. Berapa probabilitas mendapatkan tepat 5 sisi kepala?

Langkah-langkah Penyelesaian:

1. Tentukan parameter distribusi binomial: n = 10 (jumlah percobaan) dan p = 0,5 (peluang keberhasilan).
2. Gunakan rumus distribusi binomial untuk menghitung probabilitas: P(X = 5) = (10 choose 5)
   • (0,5)^5
   • (0,5)^5 = 0,2461

Contoh Soal 2

Sebuah pabrik memproduksi lampu. Peluang sebuah lampu cacat adalah 0,05. Jika 20 lampu diambil secara acak, berapa probabilitas mendapatkan paling banyak 2 lampu cacat?

Langkah-langkah Penyelesaian:

1. Tentukan parameter distribusi binomial: n = 20 dan p = 0,05.
2. Hitung probabilitas untuk X = 0, 1, dan 2 lampu cacat menggunakan rumus distribusi binomial.
3. Jumlahkan probabilitas tersebut: P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,9048

Contoh Soal 3

Sebuah survei dilakukan pada 500 orang. Peluang seseorang mendukung kebijakan tertentu adalah 0,6. Hitung probabilitas bahwa antara 280 dan 320 orang mendukung kebijakan tersebut.

Langkah-langkah Penyelesaian:

1. Tentukan parameter distribusi binomial: n = 500 dan p = 0,6.
2. Hitung probabilitas untuk X = 280, 281, …, 320 menggunakan rumus distribusi binomial.
3. Jumlahkan probabilitas tersebut: P(280 ≤ X ≤ 320) = 0,2529

Cara Menyelesaikan Soal Distribusi Binomial

Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas yang digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan dalam serangkaian percobaan Bernoulli yang independen dan identik. Untuk menyelesaikan soal distribusi binomial, ikuti langkah-langkah berikut:

Langkah-Langkah Menyelesaikan Soal Distribusi Binomial

1. Identifikasi parameter: Tentukan jumlah percobaan (n), peluang keberhasilan (p), dan jumlah keberhasilan yang diinginkan (x).
2. Tentukan fungsi probabilitas: Fungsi probabilitas distribusi binomial diberikan oleh:

P(X = x) = (nCx)

• p^x
• (1-p)^(n-x)

di mana nCx adalah koefisien binomial yang dapat dihitung menggunakan rumus:

nCx = n! / (x!

(n-x)!)

3. Substitusikan parameter: Ganti nilai n, p, dan x ke dalam fungsi probabilitas untuk mendapatkan probabilitas yang diinginkan.

Contoh Soal

Misalkan Anda melempar koin 10 kali dan ingin menghitung probabilitas mendapatkan 5 sisi angka. Dalam hal ini, n = 10, p = 0,5, dan x = 5. Langkah 1: Tentukan parameter: n = 10, p = 0,5, x = 5 Langkah 2: Tentukan fungsi probabilitas: P(X = x) = (nCx)

• p^x
• (1-p)^(n-x)

Langkah 3: Substitusikan parameter: P(X = 5) = (10C5)

• 0,5^5
• 0,5^5 = 0,2461

Jadi, probabilitas mendapatkan 5 sisi angka ketika melempar koin 10 kali adalah 0,2461.

Ilustrasi Distribusi Binomial

Distribusi binomial dapat diilustrasikan secara grafis untuk membantu memahami konsepnya. Ilustrasi ini menunjukkan distribusi probabilitas hasil percobaan binomial untuk nilai parameter yang berbeda.

Grafik distribusi binomial berbentuk lonceng, simetris, dan memiliki rata-rata pada nilai p.n, di mana p adalah probabilitas keberhasilan dan n adalah jumlah percobaan.

• Varians dan Simpangan Baku: Varians distribusi binomial adalah n.p.(1-p), dan simpangan bakunya adalah √(n.p.(1-p)).
• Bentuk Distribusi: Bentuk distribusi binomial bergantung pada nilai n dan p. Ketika n kecil, distribusi akan terlihat asimetris. Ketika n besar, distribusi akan mendekati distribusi normal.
• Pengaruh n: Ketika n meningkat, distribusi binomial menjadi lebih tersebar dan rata-rata bergeser ke kanan.
• Pengaruh p: Ketika p meningkat, distribusi binomial menjadi lebih miring ke kanan.

Tips Menyelesaikan Soal Distribusi Binomial

Distribusi binomial merupakan distribusi probabilitas yang digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan dalam sejumlah percobaan Bernoulli yang independen dan identik. Berikut adalah beberapa tips untuk menyelesaikan soal distribusi binomial dengan lebih efisien:

Identifikasi Parameter Distribusi

• n: Jumlah percobaan.
• p: Probabilitas keberhasilan pada setiap percobaan.

Gunakan Rumus Probabilitas

Probabilitas x keberhasilan dalam n percobaan diberikan oleh rumus:

P(X = x) = (nCx)

• p^x
• (1-p)^(n-x)

di mana nCx adalah koefisien binomial yang dapat dihitung menggunakan rumus:

nCx = n! / (x!

(n-x)!)

Gunakan Tabel Probabilitas

Jika n dan p kecil, tabel probabilitas dapat digunakan untuk mencari probabilitas x keberhasilan.

Gunakan Kalkulator

Kalkulator online atau spreadsheet dapat digunakan untuk menghitung probabilitas distribusi binomial dengan cepat dan mudah.

Latihan

Latihan soal secara teratur akan meningkatkan pemahaman dan keterampilan dalam menyelesaikan soal distribusi binomial.

Kesimpulan

Dengan memahami konsep distribusi binomial dan teknik penyelesaian soalnya, kita dapat memperoleh wawasan berharga tentang fenomena dunia nyata dan membuat keputusan yang lebih tepat.

Jawaban untuk Pertanyaan Umum

Apa saja aplikasi praktis dari distribusi binomial?

Distribusi binomial digunakan dalam berbagai aplikasi, seperti memprediksi jumlah cacat dalam suatu proses manufaktur, menentukan tingkat keberhasilan perawatan medis, dan menganalisis hasil survei.

Bagaimana cara menghitung probabilitas kejadian menggunakan distribusi binomial?

Probabilitas kejadian dalam distribusi binomial dapat dihitung menggunakan rumus P(X = x) = (n! / (x!(n-x)!)) – p^x – (1-p)^(n-x), di mana n adalah jumlah percobaan, x adalah jumlah keberhasilan, dan p adalah probabilitas keberhasilan pada setiap percobaan.

Apa saja tips untuk menyelesaikan soal distribusi binomial dengan lebih efisien?

Beberapa tips untuk menyelesaikan soal distribusi binomial dengan lebih efisien meliputi penggunaan tabel distribusi binomial, menghafal rumus probabilitas kumulatif, dan menggunakan kalkulator statistik.