Dalam matematika, deret geometri merupakan suatu urutan bilangan yang memiliki pola tertentu. Setiap suku dalam deret ini diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan konstan yang disebut beda. Salah satu permasalahan umum yang dihadapi dalam deret geometri adalah menghitung jumlah suku-sukunya hingga suku ke-n.

Pada artikel ini, kita akan membahas cara menghitung jumlah deret geometri hingga suku ke-n, khususnya kasus di mana jumlah tersebut sama dengan 30.

Rumus yang digunakan untuk menghitung jumlah deret geometri hingga suku ke-n adalah Sn = a1(1 – r^n) / (1 – r), di mana a1 adalah suku pertama, r adalah beda, dan n adalah jumlah suku. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan rumus tersebut untuk menghitung jumlah deret 2^10 + 3^10 + … + n^10 hingga suku ke-n yang menghasilkan nilai 30.

Pengertian Deret Geometri

Deret geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio.

Rumus deret geometri:

U _n = a . r ^(n-1)

di mana:

• U_n adalah suku ke-n
• a adalah suku pertama
• r adalah rasio
• n adalah jumlah suku

Contoh deret geometri: 2, 6, 18, 54, …

Suku pertama (a) = 2

Rasio (r) = 6/2 = 18/6 = 3

Jumlah suku (n) = 5

Rumus Deret Geometri hingga Suku ke-n

Deret geometri adalah deret bilangan yang memiliki rasio yang sama antara setiap suku. Rumus deret geometri digunakan untuk menghitung suku ke-n (Un) dalam deret tersebut.

Rumus Deret Geometri

Rumus deret geometri untuk menghitung suku ke-n (Un) adalah:

Un = a

r^(n-1)

di mana:

• a adalah suku pertama deret
• r adalah rasio deret
• n adalah nomor suku yang ingin dicari

Contoh Penerapan Rumus

Misalkan kita memiliki deret geometri dengan suku pertama a = 2 dan rasio r = 3. Untuk menghitung suku ke-5 (U5) dalam deret tersebut, kita dapat menggunakan rumus:

U5 = 2

• 3^(5-1) = 2
• 3^4 = 162

Jadi, suku ke-5 dalam deret geometri tersebut adalah 162.

Rumus Jumlah Deret Geometri Hingga Suku ke-n

Deret geometri adalah barisan bilangan yang setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio (r). Jumlah n suku pertama dalam deret geometri dapat dihitung menggunakan rumus:

Rumus Jumlah Deret Geometri Hingga Suku ke-n

Sn = a(1 – r^n) / (1 – r), di mana:

• Sn adalah jumlah n suku pertama deret geometri
• a adalah suku pertama deret geometri
• r adalah rasio deret geometri
• n adalah jumlah suku yang ingin dijumlahkan

Contoh Penggunaan Rumus

Misalkan kita memiliki deret geometri dengan suku pertama a = 2 dan rasio r = 3. Jumlah 5 suku pertama deret ini dapat dihitung sebagai:

S5 = 2(1 – 3^5) / (1 – 3) = 2(1 – 243) / (-2) = 2(-242) / (-2) = 242

Jadi, jumlah 5 suku pertama deret geometri tersebut adalah 242.

Penerapan Rumus dalam Kasus Tertentu

Rumus jumlah deret geometri dapat diterapkan pada berbagai kasus spesifik untuk menghitung jumlah deret geometri hingga suku ke-n.

Salah satu kasus umum adalah ketika deret geometri memiliki rasio yang sama dengan 1.

Contoh Kasus Rasio 1

Misalkan kita memiliki deret geometri dengan suku pertama a = 2 dan rasio r = 1. Deret ini dapat ditulis sebagai:

+ 2 + 2 + 2 + … + 2

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri, kita dapat menghitung jumlah deret ini hingga suku ke-n sebagai berikut:

S _n = a

• (1
• rⁿ) / (1
• r)

S _n = 2

• (1
• 1ⁿ) / (1
• 1)

S _n = 2

• (1
• 1) / (1
• 1)

S _n = 2

0 / 0

Karena r = 1, maka pembilang dan penyebut menjadi 0, sehingga tidak dapat disederhanakan. Dalam kasus ini, rumus tidak dapat digunakan untuk menghitung jumlah deret geometri.

Ilustrasi Grafik

Deret geometri dapat digambarkan secara grafis sebagai berikut:

Setiap titik pada grafik mewakili suku dalam deret. Titik-titik ini membentuk garis lurus yang menurun, yang menunjukkan bahwa suku-suku dalam deret geometri berkurang secara eksponensial.

Hubungan antara Suku-suku dalam Deret Geometri dan Grafiknya

• Suku pertama (a₁) diwakili oleh titik perpotongan garis dengan sumbu y.
• Rasio (r) diwakili oleh kemiringan garis.
• Setiap titik pada garis mewakili suku dalam deret (a_n), yang dihitung sebagai a_n = a₁
  – r^(n-1).

Contoh Soal dan Pembahasan

Untuk memperjelas konsep jumlah deret geometri hingga suku ke-n, berikut adalah contoh soal beserta langkah-langkah penyelesaiannya:

Contoh Soal

Hitunglah jumlah deret geometri berikut hingga suku ke-5: 2 + 6 + 18 + 54 + 162

Langkah-langkah Penyelesaian

1. Identifikasi Rasio (r): Rasio deret geometri adalah hasil bagi dua suku berurutan. Dalam deret ini, r = 6/2 = 3.
2. Tentukan Suku Pertama (a): Suku pertama deret adalah 2.
3. Tentukan Jumlah Suku (n): Jumlah suku deret adalah 5.
4. Terapkan Rumus Jumlah Deret Geometri: Jumlah deret geometri hingga suku ke-n dapat dihitung menggunakan rumus Sn = a(1
   • r^n) / (1
   • r), di mana a adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah jumlah suku.
5. Substitusikan Nilai: Dengan mensubstitusikan nilai a, r, dan n ke dalam rumus, kita mendapatkan Sn = 2(1
   • 3^5) / (1
   • 3) = 486.

Tips dan Trik

Berikut adalah beberapa tips dan trik untuk memudahkan perhitungan jumlah deret geometri:

Salah satu cara untuk mengidentifikasi deret geometri adalah dengan memeriksa rasio antara setiap suku. Jika rasionya sama, maka deret tersebut adalah deret geometri.

Menangani Kasus Khusus

• Deret Geometri Tak Hingga: Jika |r| < 1, maka deret geometri tak hingga akan konvergen ke jumlah S = a / (1 - r).
• Deret Geometri Hingga: Jika |r| < 1, maka deret geometri hingga n suku akan berjumlah S = a - (1 - r^n) / (1 - r).

Kesimpulan

Dengan memahami rumus dan konsep deret geometri, kita dapat menghitung jumlah deret hingga suku ke-n dengan mudah. Hal ini sangat bermanfaat dalam berbagai bidang, seperti keuangan, fisika, dan teknik. Kesimpulannya, menghitung jumlah deret geometri hingga suku ke-n merupakan keterampilan penting yang dapat diterapkan dalam berbagai situasi praktis.

Pertanyaan Umum (FAQ)

Apa yang dimaksud dengan deret geometri?

Deret geometri adalah suatu urutan bilangan yang memiliki pola tertentu, di mana setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan konstan yang disebut beda.

Bagaimana cara menghitung jumlah deret geometri hingga suku ke-n?

Jumlah deret geometri hingga suku ke-n dapat dihitung menggunakan rumus Sn = a1(1 – r^n) / (1 – r), di mana a1 adalah suku pertama, r adalah beda, dan n adalah jumlah suku.

Apa saja penerapan deret geometri dalam kehidupan nyata?

Deret geometri memiliki banyak penerapan dalam kehidupan nyata, seperti dalam keuangan (menghitung bunga majemuk), fisika (menghitung peluruhan radioaktif), dan teknik (menganalisis rangkaian listrik).