Dalam matematika, sistem persamaan linier tiga variabel (SPLT) merupakan sekumpulan persamaan yang melibatkan tiga variabel tak diketahui. Metode eliminasi adalah teknik yang banyak digunakan untuk menyelesaikan SPLT dengan cara mengeliminasi variabel untuk menyederhanakan sistem.
Metode eliminasi menawarkan pendekatan sistematis dan efektif untuk menyelesaikan SPLT. Dengan mengikuti langkah-langkah yang jelas, metode ini memungkinkan kita menemukan solusi untuk sistem persamaan yang kompleks sekalipun.
Pengertian SPLTV Metode Eliminasi
Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTTV) adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga variabel yang tidak diketahui. Metode eliminasi adalah salah satu cara untuk menyelesaikan SPLTV dengan menghilangkan variabel-variabel yang sama.
Langkah-langkah metode eliminasi dalam menyelesaikan SPLTV adalah sebagai berikut:
- Eliminasi salah satu variabel dari dua persamaan dengan mengalikan kedua persamaan tersebut dengan konstanta yang sesuai sehingga koefisien variabel yang akan dieliminasi menjadi sama besar dan berlawanan tanda.
- Tambahkan kedua persamaan tersebut untuk menghilangkan variabel yang akan dieliminasi.
- Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk mencari nilai variabel lainnya.
- Substitusikan nilai variabel yang ditemukan pada salah satu persamaan awal untuk mencari nilai variabel lainnya.
Contoh Soal SPLTV Metode Eliminasi
Metode eliminasi adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLTv). Berikut beberapa contoh soal SPLTv yang dapat diselesaikan dengan metode eliminasi:
Contoh Soal 1
Selesaikan sistem persamaan berikut:
- 2x + 3y = 11
- x
– y = 1
Contoh Soal 2
Selesaikan sistem persamaan berikut:
- 3x + 2y = 13
- 2x
– 3y =
-1
Contoh Soal 3
Selesaikan sistem persamaan berikut:
- x + 2y = 7
- 2x + 4y = 14
Kunci Jawaban
- Contoh Soal 1: x = 3, y = 2
- Contoh Soal 2: x = 2, y = 3
- Contoh Soal 3: x = 3, y = 2
Langkah-Langkah Metode Eliminasi
Metode eliminasi merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. Metode ini bekerja dengan mengeliminasi salah satu variabel dari sistem persamaan, sehingga menghasilkan persamaan baru yang lebih mudah untuk diselesaikan.
Eliminasi Variabel
Untuk mengeliminasi variabel, pertama-tama kalikan kedua persamaan dengan konstanta yang sesuai sehingga koefisien salah satu variabel menjadi sama besar tetapi berlawanan tanda. Setelah itu, jumlahkan kedua persamaan tersebut sehingga variabel yang dieliminasi saling meniadakan.
Substitusi Variabel
Setelah salah satu variabel dieliminasi, kita dapat mensubstitusi nilai variabel yang tersisa ke salah satu persamaan asli untuk menyelesaikan variabel yang dieliminasi.Berikut adalah tabel yang mengilustrasikan langkah-langkah metode eliminasi:|
- *Langkah |
- *Operasi |
- *Persamaan Baru |
|—|—|—|| 1 | Kalikan persamaan pertama dengan
2 dan persamaan kedua dengan 3 | $$2x-6y=-8$$ $$3x+9y=12$$ |
| 2 | Jumlahkan kedua persamaan | $$5x=4$$ || 3 | Bagi kedua sisi dengan 5 | $$x=0,8$$ || 4 | Substitusi x ke persamaan pertama | $$2(0,8)-6y=-8$$ || 5 | Selesaikan untuk y | $$y=2$$ |
Cara Mengatasi Koefisien Pecahan
Dalam SPLTV metode eliminasi, terkadang kita menemukan koefisien pecahan. Hal ini dapat mempersulit proses eliminasi. Untuk mengatasinya, kita dapat mengalikan kedua sisi persamaan dengan KPK dari penyebut koefisien pecahan.
Mengubah Koefisien Pecahan Menjadi Bilangan Bulat
- Tentukan KPK dari penyebut koefisien pecahan.
- Kalikan kedua sisi persamaan dengan KPK tersebut.
- Koefisien pecahan sekarang menjadi bilangan bulat.
Contoh Soal:
Selesaikan SPLTV berikut dengan metode eliminasi:
“`
- /3x + 1/4y = 1
- /2x
- 1/6y = 3/4
“`
Langkah Penyelesaian:
KPK dari 3, 4, dan 6 adalah 12.
Kalikan kedua sisi persamaan pertama dengan 12 dan kedua sisi persamaan kedua dengan 6:
“`
- x + 3y = 12
- x
- 2y = 9
“`
Sekarang, koefisien pecahan telah menjadi bilangan bulat dan kita dapat melanjutkan eliminasi seperti biasa.
Aplikasi Metode Eliminasi
Metode eliminasi merupakan teknik aljabar yang banyak digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan dua variabel. Metode ini memiliki berbagai aplikasi dalam kehidupan nyata, termasuk:
Teknik
- Menentukan besaran gaya dan tegangan pada struktur bangunan.
- Menganalisis aliran fluida dalam sistem pipa.
- Menghitung hambatan dan arus listrik dalam rangkaian.
Ekonomi
- Memprediksi permintaan dan penawaran barang atau jasa.
- Menetapkan harga optimal untuk produk.
- Membuat model pertumbuhan ekonomi.
Sains
- Membuat model gerakan benda dalam ruang tiga dimensi.
- Menentukan parameter fisika seperti kecepatan dan percepatan.
- Memprediksi hasil reaksi kimia.
Keunggulan dan Kelemahan Metode Eliminasi
Metode eliminasi adalah salah satu metode penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLTv) yang umum digunakan. Metode ini memiliki beberapa keunggulan dan kelemahan dibandingkan metode lain.
Keunggulan Metode Eliminasi
- Mudah dipahami dan diterapkan, sehingga cocok untuk siswa pemula.
- Dapat digunakan untuk menyelesaikan SPLTv dengan koefisien yang besar atau kompleks.
- Memberikan langkah-langkah penyelesaian yang sistematis dan jelas.
Kelemahan Metode Eliminasi
Meskipun memiliki keunggulan, metode eliminasi juga memiliki beberapa kelemahan:
- Proses penyelesaian bisa menjadi panjang dan rumit untuk SPLTv dengan banyak variabel atau koefisien yang besar.
- Dapat menghasilkan penyebut nol jika salah satu koefisien sama dengan nol, yang akan membuat penyelesaian tidak valid.
- Tidak cocok untuk SPLTv yang tidak memiliki solusi atau memiliki solusi tak hingga.
Dalam kasus seperti itu, metode lain seperti metode substitusi atau metode matriks mungkin lebih sesuai.
Terakhir
Metode eliminasi terbukti menjadi alat yang berharga dalam memecahkan SPLT, menyediakan solusi yang akurat dan efisien. Aplikasi praktisnya yang luas di berbagai bidang, seperti teknik, ekonomi, dan sains, menjadikannya teknik penting dalam matematika.
Jawaban yang Berguna
Apa saja langkah-langkah utama dalam metode eliminasi?
Langkah-langkah utama meliputi: mengeliminasi variabel, menyusun sistem persamaan yang disederhanakan, dan menyelesaikan variabel yang tersisa.
Bagaimana cara menangani koefisien pecahan dalam metode eliminasi?
Koefisien pecahan dapat dihilangkan dengan mengalikan setiap persamaan dengan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut koefisien.
Apa keunggulan metode eliminasi dibandingkan metode lain?
Keunggulan metode eliminasi antara lain kesederhanaan, akurasi, dan efisiensi dalam menyelesaikan SPLT.