Dalam matematika, barisan geometri merupakan suatu deret angka yang memiliki pola penggandaan tertentu. Barisan ini sering dijumpai dalam berbagai aplikasi kehidupan, seperti pertumbuhan populasi, peluruhan radioaktif, dan bunga majemuk.

Salah satu contoh barisan geometri yang sederhana adalah deret 3, 6, 12, …. Barisan ini memiliki pola penggandaan dengan rasio 2, artinya setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2.

Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio yang sama antara suku-suku yang berurutan. Rasio ini disebut rasio umum (r).

Contoh Barisan Geometri

• 3, 6, 12, 24, 48, … (r = 2)
• 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, … (r = 1/2)
• 5, 10, 20, 40, 80, … (r = 2)

Ciri-ciri Barisan Geometri

• Setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio umum.
• Suku pertama dan rasio umum menentukan seluruh barisan.
• Barisan geometri dapat berupa barisan naik (r > 1) atau barisan turun (r < 1).

Rumus Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan konstan yang disebut rasio.

Rumus suku ke-n barisan geometri adalah:

$$U_n = a \cdot r^n-1$$

di mana:

• $$U_n$$ adalah suku ke-n
• $$a$$ adalah suku pertama
• $$r$$ adalah rasio
• $$n$$ adalah nomor urut suku

Contoh:

Carilah suku ke-5 dari barisan geometri dengan suku pertama 3 dan rasio 2.

Dengan menggunakan rumus suku ke-n:

$$U_5 = 3 \cdot 2^5-1 = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$$

Rasio Barisan Geometri

Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya merupakan hasil perkalian suku sebelumnya dengan suatu bilangan konstan. Bilangan konstan ini disebut rasio barisan geometri.

Cara Menghitung Rasio Barisan Geometri

Untuk menghitung rasio barisan geometri, bagi setiap suku dengan suku sebelumnya. Misalnya, untuk barisan geometri 3, 6, 12, rasio dapat dihitung sebagai berikut:

r = 6/3 = 2

Sifat Rasio Barisan Geometri

Rasio barisan geometri memiliki beberapa sifat, yaitu:

• Rasio positif untuk barisan geometri naik.
• Rasio negatif untuk barisan geometri turun.
• Rasio sama dengan 1 untuk barisan geometri konstan.

Aplikasi Barisan Geometri

Barisan geometri memiliki berbagai aplikasi dalam kehidupan sehari-hari dan pemecahan masalah. Berikut beberapa contohnya:

Penerapan Barisan Geometri dalam Kehidupan Sehari-hari

• Pertumbuhan bakteri: Bakteri berkembang biak dengan membelah diri secara eksponensial, mengikuti barisan geometri.
• Peluruhan radioaktif: Inti atom radioaktif meluruh dengan laju yang mengikuti barisan geometri.
• Investasi dengan bunga majemuk: Bunga yang ditambahkan ke investasi tumbuh secara eksponensial, mengikuti barisan geometri.

Penerapan Barisan Geometri dalam Pemecahan Masalah

Barisan geometri dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah, seperti:

• Menemukan jumlah deret geometri: Jumlah suku dalam barisan geometri dapat dihitung menggunakan rumus khusus.
• Menentukan suku ke-n dalam barisan geometri: Suku ke-n dalam barisan geometri dapat dihitung menggunakan rumus yang melibatkan rasio umum dan suku pertama.
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan pertumbuhan atau peluruhan eksponensial: Barisan geometri dapat digunakan untuk memodelkan dan menyelesaikan masalah yang melibatkan pertumbuhan atau peluruhan eksponensial, seperti pertumbuhan populasi atau peluruhan radioaktif.

Ilustrasi Penerapan Barisan Geometri dalam Dunia Nyata

Misalnya, sebuah perusahaan teknologi mengalami pertumbuhan pendapatan sebesar 10% per tahun. Jika pendapatan awal perusahaan adalah Rp 100 juta, maka pendapatan perusahaan pada tahun ke-n dapat dimodelkan dengan barisan geometri berikut:

a _n = 100(1,1) ⁿ

Dengan menggunakan rumus ini, perusahaan dapat memprediksi pendapatannya di masa mendatang dan membuat keputusan berdasarkan proyeksi tersebut.

Soal Latihan

Untuk menguji pemahaman tentang barisan geometri, berikut adalah beberapa soal latihan dengan tingkat kesulitan yang bervariasi.

Setiap soal dilengkapi dengan kunci jawaban untuk memudahkan pengecekan.

Soal Mudah

• Diketahui barisan geometri 2, 6, 18, … Tentukan suku ke-5.
• Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 meter. Setiap kali memantul, tinggi pantulannya menjadi setengah dari tinggi sebelumnya. Tentukan tinggi pantulan bola setelah memantul ke-4.

Soal Sedang

• Diketahui barisan geometri dengan suku pertama 5 dan suku ke-4 adalah 40. Tentukan nilai rasio dan suku ke-6.
• Sebuah bakteri membelah diri setiap 2 jam. Jika pada awalnya terdapat 100 bakteri, tentukan jumlah bakteri setelah 12 jam.

Soal Sulit

• Diketahui barisan geometri 2, 6, 18, … Tentukan jumlah 10 suku pertama.
• Sebuah perusahaan memberikan bonus kepada karyawannya dengan persentase kenaikan tetap setiap tahun. Pada tahun pertama, bonus yang diberikan sebesar Rp1.000.000,00. Jika persentase kenaikan bonus adalah 10% setiap tahun, tentukan jumlah bonus yang akan diterima karyawan tersebut setelah 5 tahun.

Kunci Jawaban

• Soal Mudah:
  1. 112
  2. 1,25 meter
• Soal Sedang:
  1. Rasio: 2, Suku ke-6: 160
  2. 400 bakteri
• Soal Sulit:
  1. 1022
  2. Rp1.610.510,00

Simpulan Akhir

Memahami konsep barisan geometri sangat penting dalam berbagai bidang, mulai dari matematika hingga ilmu pengetahuan alam. Dengan menguasai konsep ini, kita dapat memecahkan berbagai masalah yang melibatkan pertumbuhan, peluruhan, dan bunga majemuk secara efisien dan akurat.

Jawaban untuk Pertanyaan Umum

Apa ciri-ciri barisan geometri?

Barisan geometri memiliki rasio tetap antara setiap suku berurutan.

Bagaimana cara menghitung rasio barisan geometri?

Rasio barisan geometri dapat dihitung dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, atau suku ketiga dengan suku kedua, dan seterusnya.

Apa saja aplikasi barisan geometri dalam kehidupan sehari-hari?

Barisan geometri digunakan dalam berbagai aplikasi, seperti pertumbuhan populasi, peluruhan radioaktif, dan bunga majemuk.