Dalam ranah matematika, deret geometri memegang peranan penting sebagai urutan bilangan yang memiliki pola unik. Mari kita dalami konsep deret geometri, sifat-sifatnya, dan penerapannya dalam kehidupan nyata, menggunakan deret geometri 4, 2, 1, 1/2 sebagai contoh ilustratif.

Deret geometri ditandai dengan rasio konstan antara suku-sukunya. Dalam deret yang diberikan, rasionya adalah 1/2, yang berarti setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 1/2.

Rumus Deret Geometri

Deret geometri adalah deret bilangan yang setiap sukunya merupakan hasil kali suku sebelumnya dengan suatu bilangan konstan yang disebut rasio. Rasio deret geometri biasanya dinyatakan dengan huruf r.

Rumus umum deret geometri adalah sebagai berikut:

a _n = a ₁

r ^n-1

di mana:

• a_n adalah suku ke-n
• a₁ adalah suku pertama
• r adalah rasio
• n adalah nomor suku

Sebagai contoh, deret geometri 4, 2, 1, 1/2 memiliki rasio r = 1/2 dan suku pertama a ₁ = 4.

Langkah-langkah Menghitung Suku ke-n

1. Tentukan rasio deret geometri.
2. Tentukan suku pertama deret geometri.
3. Gunakan rumus a_n = a₁
   

   r ^n-1 untuk menghitung suku ke-n.

Sifat Deret Geometri

Deret geometri adalah deret bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio (r).

Deret geometri memiliki dua sifat utama:

Rasio

Rasio deret geometri adalah bilangan tetap yang menghubungkan suku-suku dalam deret. Rumus rasio deret geometri adalah:

r = a _n / a _n-1

di mana a _n adalah suku ke-n dan a _n-1 adalah suku ke-(n-1).

Suku Pertama

Suku pertama deret geometri adalah suku pertama dalam deret. Biasanya dilambangkan dengan a ₁ .

Contoh

Misalnya, deret 4, 2, 1, 1/2 adalah deret geometri dengan rasio r = 1/2 dan suku pertama a ₁ = 4.

Penerapan Deret Geometri

Deret geometri memiliki banyak penerapan dalam kehidupan nyata, termasuk pemodelan peluruhan radioaktif dan pertumbuhan bakteri.

Dalam pemodelan peluruhan radioaktif, deret geometri digunakan untuk mewakili jumlah inti atom yang meluruh dari waktu ke waktu. Inti radioaktif meluruh dengan laju konstan, yang berarti bahwa jumlah inti yang meluruh dalam setiap interval waktu berbanding lurus dengan jumlah inti yang ada pada awal interval waktu tersebut.

Hal ini menghasilkan deret geometri, di mana suku pertama adalah jumlah inti awal dan rasio umum adalah laju peluruhan.

Dalam pertumbuhan bakteri, deret geometri digunakan untuk mewakili jumlah bakteri yang tumbuh dari waktu ke waktu. Bakteri tumbuh dengan membelah diri, yang berarti bahwa jumlah bakteri berlipat ganda pada interval waktu tertentu. Hal ini menghasilkan deret geometri, di mana suku pertama adalah jumlah bakteri awal dan rasio umum adalah laju pertumbuhan.

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut adalah contoh soal yang melibatkan deret geometri beserta cara penyelesaiannya langkah demi langkah.

Rumus Deret Geometri

• Suku ke-n: Un = a . r^(n-1)
• Jumlah n suku pertama: Sn = a . (1
  – r^n) / (1
  – r)

Contoh Soal

Diketahui deret geometri 2, 4, 8, 16, … Tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut.

Pembahasan

Dari deret yang diberikan, kita dapat menentukan:

• Suku pertama (a) = 2
• Rasio (r) = 4 / 2 = 2
• Jumlah suku (n) = 6

Dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret geometri, kita dapat menghitung Sn sebagai berikut:

Sn = 2 . (1

• 2^6) / (1
• 2)

Sn = 2 . (1

64) / (-1)

Sn = 2 . (-63) / (-1) Sn = 126

Jadi, jumlah 6 suku pertama deret geometri tersebut adalah 126.

Ilustrasi Grafik

Grafik deret geometri 4, 2, 1, 1/2 menunjukkan penurunan suku yang teratur. Grafik ini adalah garis putus-putus yang menurun ke arah sumbu x.

Sumbu Grafik

Sumbu x mewakili posisi suku dalam deret, sedangkan sumbu y mewakili nilai suku.

Pola Penurunan

Pola penurunan suku terlihat jelas pada grafik. Setiap suku berikutnya setengah dari suku sebelumnya. Penurunan ini tercermin dalam kemiringan negatif garis putus-putus.

Perbandingan Suku

Perbandingan suku berurutan dalam deret geometri ini adalah 1/2. Artinya, setiap suku adalah setengah dari suku sebelumnya.

Akhir Kata

Kesimpulannya, deret geometri memberikan alat yang ampuh untuk memodelkan berbagai fenomena di dunia nyata. Sifat dan penerapannya yang beragam menjadikannya topik penting dalam matematika dan ilmu lainnya. Memahami deret geometri, seperti yang diilustrasikan melalui contoh 4, 2, 1, 1/2, sangat penting untuk mengungkap wawasan yang lebih dalam tentang dunia kuantitatif kita.

Sudut Pertanyaan Umum (FAQ)

Apa suku ke-5 dari deret geometri 4, 2, 1, 1/2?

1/4

Bagaimana cara menentukan jumlah n suku pertama deret geometri?

a₁ – (1 – r^n) / (1 – r), di mana a₁ adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah jumlah suku.