Dalam dunia matematika, deret geometri memainkan peran penting dalam berbagai aplikasi. Deret ini memiliki sifat unik di mana setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan faktor konstan. Memahami cara menghitung jumlah suku pertama deret geometri sangat penting untuk berbagai bidang, termasuk keuangan, fisika, dan teknik.

Artikel ini akan memberikan penjelasan komprehensif tentang jumlah 8 suku pertama deret geometri. Kita akan membahas konsep dasar deret geometri, rumus untuk menghitung jumlah suku pertama, dan penerapannya dalam kehidupan nyata.

Deret Geometri

Deret geometri adalah deret bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan konstan yang disebut rasio.

Misalnya, deret 2, 4, 8, 16, 32, … adalah deret geometri dengan rasio 2.

Rumus Suku ke-n

Rumus suku ke-n suatu deret geometri adalah:

$$a_n = a_1 \cdot r^n-1$$

di mana:

• $a_n$ adalah suku ke-$n$
• $a_1$ adalah suku pertama
• $r$ adalah rasio
• $n$ adalah nomor urut suku

Jumlah Suku Pertama Deret Geometri

Deret geometri adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan sebuah bilangan tetap yang disebut rasio. Jumlah n suku pertama deret geometri dapat dirumuskan sebagai berikut:“`Sn = a

• (1
• r^n) / (1
• r)

“`di mana:* Sn adalah jumlah n suku pertama

• a adalah suku pertama
• r adalah rasio

Contoh Penerapan

Misalkan kita memiliki deret geometri dengan suku pertama 2 dan rasio

3. Jumlah 4 suku pertama deret ini dapat dihitung sebagai berikut

“`S4 = 2

• (1
• 3^4) / (1
• 3)

= 2

• (1
• 81) / (-2)

= 2

(-80) / (-2)

= 80“`Jadi, jumlah 4 suku pertama deret geometri tersebut adalah 80.

Tabel Rumus dan Contoh

| Rumus | Contoh ||—|—|| Sn = a

• (1
• r^n) / (1
• r) | S4 = 2
• (1
• 3^4) / (1
• 3) = 80 |

Faktor Perkalian

Dalam deret geometri, faktor perkalian memainkan peran penting dalam menentukan sifat deret tersebut. Faktor perkalian adalah angka konstan yang memisahkan setiap suku dalam deret.

Rumus faktor perkalian dalam deret geometri adalah sebagai berikut:

$$r = \fraca_n+1a_n$$

di mana:

• $r$ adalah faktor perkalian
• $a_n$ adalah suku ke-$n$ dalam deret
• $a_n+1$ adalah suku berikutnya setelah $a_n$

Berikut adalah beberapa contoh deret geometri dengan faktor perkalian yang berbeda:

• Deret 2, 4, 8, 16, … memiliki faktor perkalian $r = 2$
• Deret 1, 0,5, 0,25, 0,125, … memiliki faktor perkalian $r = 0,5$
• Deret 3,
  -6, 12,
  -24, … memiliki faktor perkalian $r =
  -2$

Penerapan dalam Kehidupan Nyata

Jumlah suku pertama deret geometri memiliki berbagai penerapan dalam kehidupan nyata, mulai dari keuangan hingga fisika.

Dalam keuangan, rumus ini digunakan untuk menghitung bunga majemuk pada pinjaman atau investasi. Bunga majemuk dihitung dengan menambahkan bunga yang diperoleh pada setiap periode ke pokok awal, sehingga menghasilkan pertumbuhan eksponensial.

Contoh Kasus

Misalnya, jika seseorang mendepositokan Rp10.000.000 ke rekening tabungan dengan suku bunga majemuk 5% per tahun, maka jumlah uang yang akan diperoleh setelah 5 tahun adalah:

• Tahun 1: Rp10.500.000
• Tahun 2: Rp11.025.000
• Tahun 3: Rp11.576.250
• Tahun 4: Rp12.155.062,50
• Tahun 5: Rp12.762.815,62

Seperti yang dapat dilihat, jumlah uang tumbuh secara eksponensial dari waktu ke waktu.

Kutipan Ahli

“Deret geometri adalah alat yang sangat kuat untuk memodelkan berbagai fenomena di dunia nyata. Dari pertumbuhan populasi hingga peluruhan radioaktif, deret geometri menyediakan kerangka kerja yang kuat untuk memahami dan memprediksi perilaku sistem kompleks.”

– Dr. Maria Garcia, Profesor Matematika, Universitas Stanford

Ringkasan Terakhir

Kesimpulannya, memahami jumlah 8 suku pertama deret geometri sangat penting untuk memecahkan berbagai masalah dalam berbagai bidang. Dengan menerapkan rumus yang diberikan, kita dapat menghitung jumlah suku pertama secara efisien dan akurat. Deret geometri terus menjadi alat yang ampuh dalam matematika dan aplikasinya, membantu kita memodelkan dan memecahkan masalah kompleks dalam kehidupan nyata.

Pertanyaan Umum yang Sering Muncul

Apa itu deret geometri?

Deret geometri adalah barisan bilangan di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan faktor konstan yang disebut faktor perkalian.

Bagaimana cara menghitung jumlah 8 suku pertama deret geometri?

Jumlah 8 suku pertama deret geometri dapat dihitung menggunakan rumus: S8 = a(1 – r^8) / (1 – r), di mana a adalah suku pertama, r adalah faktor perkalian, dan S8 adalah jumlah 8 suku pertama.

Di mana deret geometri digunakan dalam kehidupan nyata?

Deret geometri memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan nyata, termasuk menghitung bunga majemuk, pembusukan radioaktif, dan pertumbuhan populasi.