Dalam dunia trigonometri, memahami jumlah dan selisih sudut merupakan kunci untuk menaklukkan berbagai permasalahan. Konsep ini memungkinkan kita untuk menguraikan sudut-sudut yang kompleks menjadi bagian-bagian yang lebih sederhana, membuka jalan bagi solusi yang elegan.

Rumus-rumus yang terkait dengan jumlah dan selisih sudut trigonometri memberikan alat yang ampuh untuk menghitung nilai fungsi trigonometri dengan mudah. Mereka juga berperan penting dalam memecahkan berbagai permasalahan trigonometri, mulai dari pembuktian identitas hingga penyelesaian segitiga.

Pengertian Sudut Trigonometri

Dalam trigonometri, sudut didefinisikan sebagai ukuran rotasi atau pemutaran suatu titik atau garis.

Sudut diukur dalam derajat (°), menit (‘), dan detik (“). Satu derajat sama dengan 60 menit, dan satu menit sama dengan 60 detik.

Jenis-jenis Sudut

• Sudut lancip: Sudut yang lebih kecil dari 90°.
• Sudut siku-siku: Sudut yang sama dengan 90°.
• Sudut tumpul: Sudut yang lebih besar dari 90° tetapi lebih kecil dari 180°.
• Sudut lurus: Sudut yang sama dengan 180°.
• Sudut refleks: Sudut yang lebih besar dari 180° tetapi lebih kecil dari 360°.
• Sudut penuh: Sudut yang sama dengan 360°.

Jumlah dan Selisih Sudut Trigonometri

Dalam trigonometri, rumus jumlah dan selisih sudut digunakan untuk menghitung nilai fungsi trigonometri (sinus, kosinus, tangen, dan kotangen) dari dua sudut yang diketahui.

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

• Sinus Jumlah Sudut: sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
• Sinus Selisih Sudut: sin(A
  – B) = sin(A)cos(B)
  – cos(A)sin(B)
• Kosinus Jumlah Sudut: cos(A + B) = cos(A)cos(B)
  – sin(A)sin(B)
• Kosinus Selisih Sudut: cos(A
  – B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)
• Tangen Jumlah Sudut: tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1
  – tan(A)tan(B))
• Tangen Selisih Sudut: tan(A
  – B) = (tan(A)
  – tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))
• Kotangen Jumlah Sudut: cot(A + B) = (cot(A)cot(B)
  – 1) / (cot(A) + cot(B))
• Kotangen Selisih Sudut: cot(A
  – B) = (cot(A)cot(B) + 1) / (cot(A)
  – cot(B))

Contoh Perhitungan

Misalkan kita ingin menghitung nilai sin(30° + 45°). Menggunakan rumus jumlah sudut sinus:

sin(30° + 45°) = sin(30°)cos(45°) + cos(30°)sin(45°)

Dengan menggantikan nilai sinus dan kosinus dari tabel trigonometri, kita mendapatkan:

sin(30° + 45°) = (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2)

sin(30° + 45°) = (√2 + √6) / 4 ≈ 0,970

Penerapan Jumlah dan Selisih Sudut

Jumlah dan selisih sudut merupakan konsep penting dalam trigonometri yang memungkinkan kita memecahkan berbagai masalah trigonometri.

Salah satu penerapan jumlah dan selisih sudut adalah untuk mengevaluasi fungsi trigonometri dari sudut yang tidak umum.

Contoh Soal

Misalkan kita ingin mengevaluasi cos(105°) . Kita dapat menggunakan rumus jumlah sudut untuk menulis:

cos(105°) = cos(90° + 15°)

Menggunakan rumus cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b), kita mendapatkan:

cos(105°) = cos(90°)cos(15°)

sin(90°)sin(15°)

Karena cos(90°) = 0 dan sin(90°) = 1, kita mendapatkan:

cos(105°) = 0

• 1 =
• 1

Jadi, cos(105°) = -1 .

Penerapan Lainnya

• Menyederhanakan ekspresi trigonometri
• Menemukan nilai trigonometri dari sudut genap
• Memecahkan persamaan trigonometri

Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri, seperti sinus, kosinus, tangen, dan kotangen. Identitas ini berlaku untuk semua sudut, dan dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan trigonometri.

Identitas Jumlah dan Selisih Sudut

• Sin(A + B) = Sin(A)Cos(B) + Cos(A)Sin(B)
• Sin(A
  – B) = Sin(A)Cos(B)
  – Cos(A)Sin(B)
• Cos(A + B) = Cos(A)Cos(B)
  – Sin(A)Sin(B)
• Cos(A
  – B) = Cos(A)Cos(B) + Sin(A)Sin(B)
• Tan(A + B) = (Tan(A) + Tan(B)) / (1
  – Tan(A)Tan(B))
• Tan(A
  – B) = (Tan(A)
  – Tan(B)) / (1 + Tan(A)Tan(B))

Identitas ini dapat digunakan untuk mengubah persamaan trigonometri yang kompleks menjadi persamaan yang lebih sederhana. Misalnya, identitas Sin(A + B) dapat digunakan untuk mengekspresikan Sin(30° + 45°) sebagai Sin(30°)Cos(45°) + Cos(30°)Sin(45°).

Ilustrasi Grafik

Ilustrasi grafik dapat membantu memvisualisasikan hubungan antara jumlah dan selisih sudut trigonometri. Grafik ini terdiri dari dua sumbu, satu untuk sudut pertama dan satu untuk sudut kedua. Sudut jumlah dan selisih diplot pada grafik sebagai titik, dengan koordinat yang sesuai dengan nilai sudut masing-masing.

Contoh Grafik

Grafik di bawah ini menunjukkan hubungan antara jumlah dan selisih sudut untuk sudut 30° dan 60°:

Pada grafik, titik (30°, 60°) mewakili sudut jumlah 90°, sedangkan titik (30°, -60°) mewakili sudut selisih 30°. Pola ini berlaku untuk semua sudut, dan grafik dapat digunakan untuk menentukan jumlah atau selisih sudut trigonometri apa pun.

Simpulan Akhir

Dengan menguasai jumlah dan selisih sudut trigonometri, kita memperoleh kemampuan untuk menavigasi kompleksitas trigonometri dengan percaya diri. Konsep ini tidak hanya menyediakan teknik perhitungan yang efisien, tetapi juga menyoroti keindahan simetri dan keterkaitan yang melekat dalam matematika.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Pertanyaan: Apa saja jenis-jenis sudut dalam trigonometri?

Jawaban: Sudut lancip ( <90 derajat), sudut siku-siku (90 derajat), sudut tumpul (> 90 derajat), dan sudut refleks (>180 derajat).

Pertanyaan: Bagaimana cara menggunakan rumus jumlah dan selisih sudut untuk menghitung fungsi trigonometri?

Jawaban: Ganti nilai sudut yang diketahui ke dalam rumus yang sesuai dan lakukan operasi matematika.

Pertanyaan: Apa saja penerapan jumlah dan selisih sudut dalam trigonometri?

Jawaban: Memecahkan segitiga, membuktikan identitas trigonometri, dan mengevaluasi ekspresi trigonometri.