Lingkaran, bentuk geometris yang unik, telah memikat pikiran para matematikawan selama berabad-abad. Dalam Bab 7 Matematika Kelas 9, kita akan menyelami konsep inti pai, mengeksplorasi sifat-sifatnya yang menarik, dan menerapkan pemahaman kita untuk memecahkan masalah dunia nyata.

Dari menghitung luas dan keliling hingga menyelidiki teorema Pythagoras dan persamaan lingkaran, bab ini akan memberikan landasan yang komprehensif dalam geometri lingkaran. Dengan menguasai konsep-konsep ini, siswa akan memperoleh pemahaman yang lebih dalam tentang bentuk geometris yang penting ini dan membuka pintu menuju topik matematika yang lebih kompleks.

Konsep Dasar Pai

Pai adalah angka yang mewakili perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Ini adalah konstanta matematika yang sangat penting dan sering digunakan dalam berbagai bidang sains dan teknik.

Nilai pai dilambangkan dengan huruf Yunani π (pi) dan merupakan bilangan irasional, artinya tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan sederhana dari dua bilangan bulat. Nilai desimal pai dimulai dengan 3,14159 dan berlanjut tanpa batas tanpa pola pengulangan.

Sifat-sifat Pai

• Pai adalah bilangan irasional.
• Pai adalah bilangan transendental, artinya tidak dapat dinyatakan sebagai akar dari persamaan polinomial dengan koefisien rasional.
• Pai adalah bilangan positif.
• Pai adalah konstanta, artinya nilainya tidak berubah.
• Pai dapat didekati oleh berbagai pecahan, seperti 22/7, 355/113, dan 103993/33102.

Rumus Luas dan Keliling Pai

Pai adalah bangun datar yang dibatasi oleh kurva tertutup yang mengelilingi sebuah titik pusat. Rumus luas dan keliling pai digunakan untuk menghitung luas dan keliling bentuk geometris ini.

Rumus Luas dan Keliling Pai

Jenis	Rumus
Luas	L = πr2
Keliling	K = 2πr

Keterangan:

• L adalah luas pai
• K adalah keliling pai
• π (pi) adalah konstanta matematika yang nilainya sekitar 3,14
• r adalah jari-jari pai

Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal: Hitunglah luas dan keliling sebuah pai dengan jari-jari 10 cm.

Penyelesaian:

• Luas: L = πr² = 3,14 x 10² = 314 cm²
• Keliling: K = 2πr = 2 x 3,14 x 10 = 62,8 cm

Penerapan Rumus dalam Kehidupan Nyata

Rumus luas dan keliling pai memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan nyata, seperti:

• Menghitung luas permukaan benda berbentuk lingkaran, seperti piring atau roda
• Menghitung volume benda berbentuk silinder atau kerucut
• Merancang dan membuat bangunan atau struktur berbentuk lingkaran

Teorema Pythagoras pada Lingkaran

Teorema Pythagoras pada lingkaran menyatakan bahwa jika sebuah garis lurus memotong lingkaran pada dua titik, maka kuadrat panjang garis singgung dari setiap titik ke garis lurus sama dengan kuadrat jari-jari lingkaran dikurangi kuadrat jarak dari titik ke pusat lingkaran.

Diagram

Misalkan kita memiliki sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r. Sebuah garis lurus AB memotong lingkaran pada titik C dan D. Garis singgung dari C ke AB adalah CT, dan garis singgung dari D ke AB adalah DT.

Rumus

Menurut teorema Pythagoras pada lingkaran, kita memiliki:

CT² = r²

OC²

DT² = r²

OD²

Contoh Soal

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 10 cm. Sebuah garis lurus memotong lingkaran tersebut pada titik P dan Q. Jika jarak dari P ke pusat lingkaran adalah 6 cm, hitunglah panjang garis singgung dari Q ke garis lurus.

Penyelesaian:

1. Gunakan rumus Teorema Pythagoras pada lingkaran:
2. QP² = r²
   

   PQ²

3. QP² = 10²
   

   6²

4. QP² = 64
5. QP = √64
6. QP = 8 cm

Sudut pada Lingkaran

Sudut pada lingkaran adalah sudut yang terbentuk oleh dua jari-jari atau garis singgung yang ditarik dari titik yang sama pada lingkaran.

Jenis-jenis Sudut pada Lingkaran

Ada tiga jenis sudut pada lingkaran, yaitu:

• Sudut pusat
• Sudut keliling
• Sudut setengah keliling

Berikut adalah penjelasan dan diagram untuk masing-masing jenis sudut:

Sudut Pusat

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran. Besar sudut pusat sama dengan dua kali besar sudut keliling yang menghadapnya.

Sudut Keliling

Sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis singgung lingkaran. Besar sudut keliling sama dengan setengah besar sudut pusat yang menghadapnya.

Sudut Setengah Keliling

Sudut setengah keliling adalah sudut yang dibentuk oleh satu jari-jari dan satu garis singgung lingkaran. Besar sudut setengah keliling sama dengan setengah besar sudut pusat yang menghadapnya.

Sifat-sifat Sudut pada Lingkaran

Sudut pada lingkaran memiliki beberapa sifat, antara lain:

• Jumlah sudut pusat yang menghadap busur yang sama adalah 360 derajat.
• Jumlah sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah 180 derajat.
• Jumlah sudut setengah keliling yang menghadap busur yang sama adalah 90 derajat.

Bidang Berbentuk Lingkaran

Lingkaran adalah bangun datar dua dimensi yang dibatasi oleh kurva tertutup yang disebut keliling. Keliling lingkaran berjarak sama dari titik tetap yang disebut pusat.

Jenis-jenis Bidang Berbentuk Lingkaran

• Lingkaran
• Busur Lingkaran
• Juring Lingkaran
• Tembereng Lingkaran

Rumus Luas dan Keliling Bidang Berbentuk Lingkaran

• Luas Lingkaran:

  L = πr²

• Keliling Lingkaran:

  K = 2πr

• Luas Busur Lingkaran:

  L = (θ/360°)πr²

• Keliling Busur Lingkaran:

  K = (θ/360°)2πr

• Luas Juring Lingkaran:

  L = (θ/360°)πr²

• Keliling Juring Lingkaran:

  K = (θ/360°)2πr

• Luas Tembereng Lingkaran:

  L = (θ/360°)πr² – r²

• Keliling Tembereng Lingkaran:

  K = (θ/360°)2πr + 2r

Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal: Hitunglah luas lingkaran dengan jari-jari 7 cm. Penyelesaian: L = πr²L = π(7 cm)²L ≈ 154 cm²

Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah bangun datar yang dibatasi oleh satu kurva tertutup, yaitu keliling lingkaran. Persamaan lingkaran dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk, salah satunya adalah bentuk umum:

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran dalam bentuk umum ditulis sebagai:

$$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$$

di mana:

• $(g, f)$ adalah koordinat pusat lingkaran
• $r^2 = g^2 + f^2
  – c$ adalah kuadrat jari-jari lingkaran

Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran

Untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaannya, dapat digunakan rumus berikut:

$$Pusat: (-g,

f)$$

$$Jari-jari: r = \sqrtg^2 + f^2

c$$

Contoh Soal

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan:

$$x^2 + y^2

6x + 8y + 15 = 0$$

Penyelesaian:

• Membandingkan dengan bentuk umum:

$$g = -3, f = 4, c = 15$$

• Menentukan pusat:

$$Pusat: (-g, -f) = (3, -4)$$

• Menentukan jari-jari:

$$r = \sqrtg^2 + f^2 – c = \sqrt3^2 + 4^2 – 15 = \sqrt2$$

Jadi, pusat lingkaran adalah $(3, -4)$ dan jari-jarinya adalah $\sqrt2$.

Transformasi Lingkaran

Transformasi lingkaran adalah operasi matematika yang mengubah posisi, ukuran, atau bentuk lingkaran. Ada beberapa jenis transformasi lingkaran, yaitu:

Translasi

Translasi adalah perpindahan lingkaran dari satu titik ke titik lain. Translasi dapat dinyatakan dengan vektor translasi, yang merupakan jarak dan arah perpindahan.

Rotasi

Rotasi adalah pemutaran lingkaran di sekitar suatu titik pusat. Rotasi dapat dinyatakan dengan sudut rotasi, yang merupakan besar sudut putaran.

Refleksi

Refleksi adalah pembalikan lingkaran terhadap suatu garis. Refleksi dapat dinyatakan dengan garis refleksi, yang merupakan garis yang menjadi sumbu simetri.

Skala

Skala adalah perubahan ukuran lingkaran. Skala dapat dinyatakan dengan faktor skala, yang merupakan perbandingan antara jari-jari lingkaran yang baru dan lingkaran yang lama.

Contoh Soal

Sebuah lingkaran berpusat di titik (2, 3) dan memiliki jari-jari 5. Tentukan persamaan lingkaran setelah ditranslasikan 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke bawah.

Penyelesaian:

Vektor translasi: (3, -2)

Persamaan lingkaran awal: (x – 2)² + (y – 3)² = 25

Persamaan lingkaran setelah ditranslasikan: (x – 2 + 3)² + (y – 3 – 2)² = 25

Persamaan lingkaran setelah ditranslasikan: (x – 1)² + (y – 1)² = 25

Penutupan

Rangkuman Bab 7 Matematika Kelas 9 ini menyajikan tinjauan menyeluruh tentang konsep-konsep inti pai. Dari sifat dasar hingga aplikasi praktis, siswa telah memperoleh pemahaman yang komprehensif tentang bentuk geometris yang penting ini. Dengan menguasai topik ini, siswa telah meletakkan dasar yang kokoh untuk perjalanan matematika mereka yang berkelanjutan, membuka jalan bagi eksplorasi yang lebih dalam ke dunia geometri.

Pertanyaan Umum yang Sering Muncul

Apa itu pai?

Pai adalah konstanta matematika yang mewakili rasio keliling lingkaran dengan diameternya. Nilainya sekitar 3,14159.

Bagaimana cara menghitung luas lingkaran?

Luas lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus: Luas = πr², di mana r adalah jari-jari lingkaran.

Apa itu teorema Pythagoras pada lingkaran?

Teorema Pythagoras pada lingkaran menyatakan bahwa kuadrat panjang tali busur sama dengan jumlah kuadrat panjang tangen-tangen yang ditarik dari titik ujung tali busur.