Dalam geometri, garis singgung lingkaran merupakan garis lurus yang bersinggungan dengan lingkaran pada satu titik, tanpa memotongnya. Konsep ini memainkan peran penting dalam berbagai bidang, termasuk matematika, fisika, dan teknik.

Untuk menentukan garis singgung lingkaran, diperlukan rumus persamaan garis singgung. Rumus ini dapat diturunkan menggunakan prinsip-prinsip geometri analitik dan aljabar.

Pengertian Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis lurus yang bersinggungan dengan lingkaran pada satu titik. Titik singgung adalah titik di mana garis singgung dan lingkaran bertemu.

Ilustrasi Garis Singgung Lingkaran

Perhatikan gambar berikut:

Pada gambar tersebut, garis lurus AB adalah garis singgung lingkaran pada titik T. Titik T adalah titik singgung antara garis AB dan lingkaran.

Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis lurus yang bersinggungan dengan lingkaran di satu titik. Persamaan garis singgung lingkaran dapat ditentukan menggunakan berbagai rumus, tergantung pada informasi yang diketahui tentang garis singgung atau lingkaran.

Kasus 1: Titik Singgung Diketahui

Jika titik singgung garis singgung pada lingkaran diketahui, maka persamaan garis singgung dapat ditentukan menggunakan rumus:

• y
  – y₀ = m(x
  – x₀)

di mana:* (x ₀ , y ₀ ) adalah titik singgung

m adalah gradien garis singgung

Kasus 2: Gradien Diketahui

Jika gradien garis singgung diketahui, tetapi titik singgung tidak diketahui, maka persamaan garis singgung dapat ditentukan menggunakan rumus:

• y = mx ± √(r²(1 + m²)
  – (mx_c
  – y_c)²)

di mana:* m adalah gradien garis singgung

• (x_c, y_c) adalah pusat lingkaran
• r adalah jari-jari lingkaran

Kasus 3: Titik Singgung dan Gradien Diketahui

Jika titik singgung dan gradien garis singgung diketahui, maka persamaan garis singgung dapat ditentukan langsung menggunakan rumus:

• y
  – y₀ = m(x
  – x₀)

di mana:* (x ₀ , y ₀ ) adalah titik singgung

m adalah gradien garis singgung

Kasus 4: Persamaan Lingkaran Diketahui

Jika persamaan lingkaran diketahui, maka persamaan garis singgung dapat ditentukan menggunakan rumus:

• y = mx ± √(r²(1 + m²)
  – (mx_c
  – y_c)²)

di mana:* m adalah gradien garis singgung

• (x_c, y_c) adalah pusat lingkaran
• r adalah jari-jari lingkaran

Tabel Ringkasan

Tabel Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Kasus	Rumus
Titik singgung diketahui	y y0 = m(x x0)
Gradien diketahui	y = mx ± √(r2(1 + m2) (mxc yc)2)
Titik singgung dan gradien diketahui	y y0 = m(x x0)
Persamaan lingkaran diketahui	y = mx ± √(r2(1 + m2) (mxc yc)2)

Cara Menentukan Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang hanya memiliki satu titik potong dengan lingkaran. Untuk menentukan garis singgung lingkaran, ikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Tentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran

Tentukan titik pusat lingkaran (O) dan jari-jarinya (r). Pusat lingkaran dapat ditemukan dengan mencari titik tengah dua titik yang terletak pada lingkaran.

Langkah 2: Tentukan Titik Singgung (T)

Titik singgung adalah titik potong antara garis singgung dan lingkaran. Titik ini dapat ditentukan dengan menarik garis dari titik pusat lingkaran yang tegak lurus dengan garis singgung.

Langkah 3: Tentukan Gradien Garis Singgung

Gradien garis singgung adalah kebalikan dari gradien garis yang melalui titik pusat lingkaran dan titik singgung. Gradien garis yang melalui titik pusat lingkaran dan titik singgung dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:“`m = (y2

• y1) / (x2
• x1)

“`di mana (x1, y1) adalah koordinat titik pusat lingkaran dan (x2, y2) adalah koordinat titik singgung.

Langkah 4: Tentukan Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung dapat ditentukan dengan menggunakan rumus garis lurus berikut:“`y

• y1 = m(x
• x1)

“`di mana (x1, y1) adalah koordinat titik singgung dan m adalah gradien garis singgung.

Contoh Soal

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat di titik (2, 3) dan jari-jari 5 yang menyinggung lingkaran di titik (7, 3).Penyelesaian:

1. Pusat lingkaran

O(2, 3)

2. Jari-jari lingkaran

r = 5

3. Titik singgung

T(7, 3)

4. Gradien garis yang melalui O dan T

“`m = (y2

• y1) / (x2
• x1)

= (3

• 3) / (7
• 2)

= 0“`

5. Gradien garis singgung

“`m’ =

1/m

=

1/0

= tidak terdefinisi“`Karena gradien garis singgung tidak terdefinisi, maka garis singgung tersebut sejajar sumbu y. Persamaan garis singgungnya adalah:“`x = 7“`

Penerapan Rumus Garis Singgung Lingkaran

Rumus garis singgung lingkaran memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang, mulai dari geometri hingga fisika dan teknik.

Bidang Teknik

• Menentukan lintasan peluru atau roket yang diluncurkan dari permukaan melengkung.
• Mendesain jembatan dan struktur melengkung untuk memastikan stabilitas dan keamanan.
• Menganalisis gaya pada roda dan bantalan pada mesin yang berputar.

Bidang Fisika

• Menghitung kecepatan dan arah partikel yang menumbuk permukaan lengkung, seperti dalam hamburan partikel.
• Menentukan lintasan cahaya atau gelombang suara saat melewati antarmuka lengkung, seperti dalam pembiasan dan pemantulan.
• Menganalisis gaya yang bekerja pada benda yang bergerak pada permukaan lengkung, seperti gesekan dan gaya sentripetal.

Bidang Geometri

• Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran untuk konstruksi geometris.
• Membuktikan teorema geometri yang melibatkan lingkaran, seperti Teorema Pythagoras dan Teorema Tangent.
• Menyelesaikan masalah lokasi titik dan garis yang terkait dengan lingkaran.

Contoh Kehidupan Nyata

• Arsitek menggunakan rumus garis singgung lingkaran untuk merancang kubah dan lengkungan yang estetis dan struktural.
• Insinyur otomotif menerapkan rumus ini untuk mengoptimalkan desain ban dan sistem suspensi guna meningkatkan stabilitas dan performa kendaraan.
• Fisikawan menggunakan rumus ini untuk menganalisis tumbukan dan lintasan partikel di akselerator partikel.

Akhir Kata

Rumus persamaan garis singgung lingkaran merupakan alat yang ampuh untuk memecahkan berbagai masalah geometri dan aplikasi praktis. Dengan memahami rumus dan cara penerapannya, individu dapat memperoleh wawasan yang lebih mendalam tentang sifat-sifat lingkaran dan garis singgungnya.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa saja aplikasi rumus persamaan garis singgung lingkaran?

Rumus ini dapat digunakan dalam berbagai aplikasi, seperti menentukan persamaan garis singgung pada titik tertentu, menemukan jarak dari titik ke garis singgung, dan menyelesaikan masalah geometri yang melibatkan lingkaran dan garis singgung.

Bagaimana cara menentukan garis singgung lingkaran jika diketahui titik singgungnya?

Jika titik singgung diketahui, rumus persamaan garis singgung dapat ditulis dalam bentuk y – y1 = m(x – x1), di mana (x1, y1) adalah koordinat titik singgung dan m adalah gradien garis singgung.

Apa itu gradien garis singgung lingkaran?

Gradien garis singgung lingkaran di titik singgung sama dengan kemiringan jari-jari lingkaran yang ditarik ke titik singgung.