Deret aritmatika merupakan konsep dasar dalam matematika yang banyak dijumpai dalam berbagai bidang kehidupan. Deret ini memiliki sifat dan pola yang khas, sehingga memudahkan penyelesaian berbagai permasalahan yang melibatkan penjumlahan berulang.

Pemahaman mendalam tentang deret aritmatika sangat penting bagi siswa kelas 11 untuk mempersiapkan diri menghadapi soal-soal yang menantang. Oleh karena itu, artikel ini menyajikan rangkuman materi deret aritmatika beserta soal latihan yang dapat mengasah kemampuan berpikir kritis siswa.

Konsep Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah barisan bilangan yang memiliki beda tetap antara suku-sukunya. Dengan kata lain, setiap suku diperoleh dengan menambahkan atau mengurangkan suku sebelumnya dengan suatu konstanta tertentu yang disebut beda.

Contoh deret aritmatika adalah 2, 5, 8, 11, 14, … yang memiliki beda 3. Deret aritmatika dapat diidentifikasi dengan rumus suku ke-n sebagai berikut:

Ciri-ciri Deret Aritmatika

• Beda antara dua suku berurutan adalah konstan.
• Dapat dinyatakan dalam bentuk a + (n-1)b, di mana a adalah suku pertama, b adalah beda, dan n adalah nomor suku.
• Jumlah n suku pertama dapat dihitung dengan rumus Sn = n/2(a + Un), di mana Un adalah suku ke-n.

Rumus Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah deret bilangan yang beda antara dua suku berurutannya selalu sama. Rumus-rumus yang digunakan dalam deret aritmatika meliputi rumus suku ke-n (Un), beda (b), dan jumlah n suku pertama (Sn).

Rumus-rumus Deret Aritmatika

• Suku ke-n (Un): Un = a + (n
  – 1)b
• Beda (b): b = Un
  – Un-1
• Jumlah n suku pertama (Sn): Sn = n/2
  – (a + Un)

Contoh Penggunaan Rumus

Misalkan kita memiliki deret aritmatika dengan suku pertama (a) = 5 dan beda (b) = 3. Untuk mencari suku ke-10 (U10), kita dapat menggunakan rumus:

U10 = a + (n

• 1)b = 5 + (10
• 1)3 = 5 + 9
• 3 = 32

Untuk mencari jumlah 10 suku pertama, kita dapat menggunakan rumus:

S10 = n/2

• (a + Un) = 10/2
• (5 + 32) = 5
• 37 = 185

Penerapan Deret Aritmatika

Deret aritmatika memiliki banyak penerapan dalam kehidupan sehari-hari, seperti dalam keuangan, fisika, dan statistik.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Seorang petani memiliki 500 ekor ayam. Setiap bulan, ia menjual 20 ekor ayam. Berapa jumlah ayam yang tersisa setelah 6 bulan?

Diketahui deret aritmatika:

• Suku pertama (a₁) = 500
• Beda (b) =
  -20
• Jumlah suku (n) = 6

Jumlah suku ke-n suatu deret aritmatika dapat dihitung menggunakan rumus:

S _n = n/2 (a ₁ + a _n )

Dengan a _n = a ₁ + (n-1)b, maka:

S ₆ = 6/2 (500 + 500 + (6-1)(-20)) = 3(1000

100) = 3(900) = 2700

Jadi, jumlah ayam yang tersisa setelah 6 bulan adalah 2700 ekor .

Sifat-sifat Deret Aritmatika

Deret aritmatika memiliki beberapa sifat yang unik dan penting. Sifat-sifat ini dapat membantu dalam menyelesaikan masalah dan memahami konsep deret aritmatika.

Jumlah Suku Genap dan Ganjil

Jumlah suku genap dan ganjil pada deret aritmatika dapat ditentukan dengan rumus tertentu. Berikut adalah rumusnya:

• Jumlah suku genap: Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
• Jumlah suku ganjil: Sn = n/2 (a + (n-1)b)

Dalam rumus tersebut, a adalah suku pertama, b adalah beda deret, dan n adalah banyaknya suku.

Pembuktian Sifat

Pembuktian sifat-sifat deret aritmatika dapat dilakukan menggunakan prinsip induksi matematika. Berikut adalah garis besar pembuktiannya:

• Basis: Buktikan bahwa sifat berlaku untuk n = 1.
• Langkah Induksi: Asumsikan bahwa sifat berlaku untuk n = k.
• Buktikan: Tunjukkan bahwa sifat juga berlaku untuk n = k + 1.

Dengan mengikuti langkah-langkah ini, dapat dibuktikan bahwa sifat-sifat deret aritmatika berlaku untuk semua nilai n .

Soal Latihan Deret Aritmatika

Untuk menguji pemahaman tentang deret aritmatika, berikut adalah beberapa soal latihan dengan tingkat kesulitan yang bervariasi. Soal-soal ini dilengkapi dengan kunci jawaban dan pembahasannya.

Soal Latihan

• Tentukan suku ke-10 dari deret aritmatika 5, 11, 17, …
• Tentukan jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika 3, 7, 11, …
• Sebuah mobil menempuh jarak 100 km pada hari pertama, dan jaraknya bertambah 15 km setiap hari berikutnya. Tentukan jarak total yang ditempuh mobil tersebut selama 10 hari.

Kunci Jawaban dan Pembahasan

1. Suku ke-10 = a + (10-1)b = 5 + 9(6) = 61
2. Jumlah 15 suku pertama = 15/2 (2a + (15-1)b) = 15/2 (2(3) + (14)(4)) = 330
3. Jarak total = 100 + (10-1)(15) = 100 + 9(15) = 235 km

Penutup

Dengan menguasai konsep dan rumus deret aritmatika, siswa kelas 11 akan mampu memecahkan berbagai soal yang melibatkan penjumlahan berulang. Kemampuan ini sangat bermanfaat dalam menyelesaikan permasalahan di bidang matematika, fisika, dan kehidupan sehari-hari.

Pertanyaan Umum (FAQ)

Apa saja ciri-ciri deret aritmatika?

Deret aritmatika memiliki beda (selisih antar suku) yang tetap.

Bagaimana cara mencari suku ke-n dalam deret aritmatika?

Un = a + (n-1)b, dengan a adalah suku pertama dan b adalah beda.

Apa saja sifat-sifat deret aritmatika?

Jumlah suku genap = (n/2) x (a + Un), Jumlah suku ganjil = (n/2) x (a + Un – b).