Dalam kalkulus, turunan memainkan peran penting dalam memahami perilaku fungsi. Di antara turunan yang umum digunakan, turunan dari y = 3 sin x cos x menjadi sorotan karena penerapannya yang luas dalam berbagai bidang.

Artikel ini akan mengeksplorasi turunan dari y = 3 sin x cos x secara mendalam, meliputi rumus turunan, langkah-langkah perhitungan, contoh soal, dan aplikasi praktisnya. Dengan pemahaman yang jelas tentang turunan ini, pembaca akan memperoleh wawasan berharga tentang perilaku fungsi trigonometri dan kemampuannya untuk memecahkan masalah dalam kalkulus.

Turunan Sin x Cos x

Turunan dari sin x cos x adalah suatu konsep penting dalam kalkulus. Turunan ini digunakan untuk mencari gradien fungsi sin x cos x, menentukan titik kritis, dan menyelesaikan persamaan diferensial.

Rumus Turunan Sin x Cos x

Turunan dari sin x cos x adalah:

y’ = cos ² x

sin ² x

Langkah-langkah Menghitung Turunan Sin x Cos x

1. Gunakan aturan perkalian untuk turunan: (fg)’ = f’g + fg’
2. Turunkan sin x dan cos x:
• (sin x)’ = cos x
• (cos x)’ =
  -sin x
3. Substitusikan turunan ke dalam aturan perkalian:
• (sin x cos x)’ = (cos x)(cos x) + (sin x)(-sin x)
• (sin x cos x)’ = cos² x
  – sin² x

Contoh Turunan Sin x Cos x

Untuk memahami konsep turunan sin x cos x, mari kita selesaikan contoh soal berikut:

Langkah 1: Tentukan Turunan Masing-masing Fungsi

Turunan dari sin x adalah cos x, dan turunan dari cos x adalah -sin x.

Langkah 2: Terapkan Aturan Produk

Menggunakan aturan produk, turunan dari sin x cos x adalah:

(sin x)’cos x + sin x(cos x)’ = cos x cos x – sin x sin x

Langkah 3: Sederhanakan Persamaan

Sederhanakan persamaan menjadi:

cos^2 x – sin^2 x

Langkah 4: Gunakan Identitas Trigonometri

Gunakan identitas trigonometri cos^2 x – sin^2 x = cos 2x:

cos 2x

Aplikasi Turunan Sin x Cos x

Turunan dari y = 3 sin x cos x memiliki aplikasi yang luas dalam kalkulus, terutama untuk menentukan ekstrem dan konveksitas fungsi.

Ekstrem Fungsi

Untuk mencari ekstrem suatu fungsi f(x), kita dapat menggunakan turunannya. Jika turunan f(x) sama dengan 0 pada titik x = a, maka x = a adalah titik kritis. Titik kritis ini berpotensi menjadi titik maksimum atau minimum.

Untuk menentukan apakah titik kritis adalah titik maksimum atau minimum, kita dapat memeriksa tanda turunan kedua f(x) pada titik tersebut. Jika turunan kedua positif, maka titik kritis tersebut adalah titik minimum. Jika turunan kedua negatif, maka titik kritis tersebut adalah titik maksimum.

Konveksitas Fungsi

Turunan kedua dari y = 3 sin x cos x juga dapat digunakan untuk menentukan konveksitas fungsi. Konveksitas suatu fungsi menggambarkan apakah grafik fungsi melengkung ke atas atau ke bawah.

Jika turunan kedua positif pada suatu interval, maka grafik fungsi melengkung ke atas pada interval tersebut. Jika turunan kedua negatif pada suatu interval, maka grafik fungsi melengkung ke bawah pada interval tersebut.

Tabel Ringkasan

Berikut adalah tabel yang merangkum informasi tentang turunan y = 3 sin x cos x:

Rumus

• y = 3 sin x cos x
• y’ = 3(sin x)(-sin x) + 3(cos x)(cos x) = 3(cos² x
  – sin² x)

Langkah-langkah Perhitungan

1. Gunakan aturan hasil kali untuk menghitung turunan y = 3 sin x cos x.
2. Turunan sin x adalah cos x.
3. Turunan cos x adalah
   

   sin x.

4. Substitusikan turunan ini ke dalam aturan hasil kali.
5. Sederhanakan persamaan untuk mendapatkan turunan y = 3 sin x cos x.

Aplikasi

Turunan y = 3 sin x cos x dapat digunakan untuk:

• Mencari gradien garis tangen pada kurva y = 3 sin x cos x pada titik tertentu.
• Menentukan interval kenaikan dan penurunan pada kurva y = 3 sin x cos x.
• Menemukan titik balik pada kurva y = 3 sin x cos x.

Ilustrasi Grafis

Ilustrasi grafis dapat memberikan pemahaman visual tentang hubungan antara sin x cos x dan turunannya. Grafik ini menunjukkan bagaimana turunan dari sin x cos x adalah cos x cos x – sin x sin x.

Ilustrasi ini membantu kita memahami bahwa turunan dari sin x cos x adalah fungsi periodik dengan periode π. Grafiknya memiliki bentuk gelombang sinus yang bergerak naik dan turun, dengan amplitudo maksimum 1 dan amplitudo minimum -1.

• Grafik Turunan
• Pola Periodik
• Amplitudo dan Periode

Ringkasan Terakhir

Turunan dari y = 3 sin x cos x merupakan konsep mendasar dalam kalkulus yang membuka berbagai aplikasi dalam analisis fungsi. Dengan memahami rumus, langkah perhitungan, dan penerapan praktisnya, individu dapat memperoleh pemahaman mendalam tentang perilaku fungsi trigonometri dan memanfaatkan turunan ini untuk menyelesaikan berbagai masalah kalkulus.

Artikel ini memberikan dasar yang kuat untuk eksplorasi lebih lanjut dalam bidang kalkulus dan matematika.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa saja langkah-langkah menghitung turunan y = 3 sin x cos x?

Langkah-langkahnya adalah menerapkan aturan perkalian, aturan sinus, dan aturan kosinus.

Apa saja aplikasi turunan y = 3 sin x cos x dalam kalkulus?

Aplikasi meliputi mencari ekstrem fungsi, menentukan konveksitas, dan menyelesaikan integral.

Bagaimana turunan y = 3 sin x cos x membantu memahami perilaku fungsi?

Turunan memberikan informasi tentang laju perubahan fungsi, yang membantu menentukan titik maksimum, minimum, dan titik belok.