Dalam matematika, faktorisasi memainkan peran penting dalam memecahkan persamaan polinomial. Salah satu contoh yang banyak digunakan adalah memfaktorkan x^2 – 7x + 6 = 0. Proses ini memberikan wawasan berharga tentang sifat persamaan kuadrat dan penerapannya dalam menyelesaikan masalah.

Faktorisasi adalah proses penguraian suatu ekspresi aljabar menjadi perkalian faktor-faktornya. Dengan memfaktorkan polinomial kuadrat seperti x^2 – 7x + 6 = 0, kita dapat menentukan akar-akar persamaan dan menggunakannya untuk memecahkan berbagai masalah matematika.

Pengertian Faktorisasi

Faktorisasi adalah proses penguraian suatu bilangan atau ekspresi aljabar menjadi faktor-faktornya. Faktor-faktor tersebut adalah bilangan atau ekspresi aljabar yang, ketika dikalikan bersama, menghasilkan bilangan atau ekspresi asli.

Contoh sederhana faktorisasi adalah penguraian bilangan 12 menjadi 2 dan 6, atau ekspresi aljabar x ² – 4 menjadi (x – 2)(x + 2).

Faktorisasi x^2

7x + 6 = 0

Faktorisasi adalah proses memecah suatu polinomial menjadi perkalian dari faktor-faktornya yang lebih sederhana. Untuk memfaktorkan x^2 – 7x + 6 = 0, kita dapat menggunakan metode pemfaktoran kuadrat.

Langkah-langkah Pemfaktoran:

1. Temukan dua bilangan yang jumlahnya
   

   7 dan hasil kalinya 6.

2. Dua bilangan tersebut adalah
   • 6 dan
   • 1.
3. Tulis ulang suku tengah menggunakan dua bilangan tersebut: x^2
   • 6x
   • x + 6 = 0.
4. Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir:

(x^2

• 6x)
• (x
• 6) = 0

5. Faktorkan masing-masing kelompok:

x(x

• 6)
• 1(x
• 6) = 0

6. Keluarkan faktor persekutuan (x

   6)

(x

• 6)(x
• 1) = 0

Menentukan Akar-Akar Persamaan

Akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan menggunakan rumus kuadrat. Rumus kuadrat menyatakan bahwa akar-akar dari persamaan kuadrat ax ² + bx + c = 0 adalah:

x = (- b ± √( b ²

4 ac )) / 2 a

Dimana a , b , dan c adalah koefisien dari persamaan kuadrat.

Menentukan Akar-Akar Persamaan x²

7 x + 6 = 0

Dengan menggunakan rumus kuadrat, akar-akar dari persamaan x ² – 7 x + 6 = 0 adalah:

x = (-(-7) ± √((-7) ² – 4(1)(6))) / 2(1)

x = (7 ± √(49 – 24)) / 2

x = (7 ± √25) / 2

x = (7 ± 5) / 2

x ₁ = (7 + 5) / 2 = 6

x ₂ = (7 – 5) / 2 = 1

Jadi, akar-akar dari persamaan x ² – 7 x + 6 = 0 adalah 6 dan 1.

Penerapan Faktorisasi

Faktorisasi merupakan teknik matematika yang digunakan untuk menguraikan ekspresi matematika menjadi faktor-faktor yang lebih sederhana. Faktorisasi memiliki banyak aplikasi dalam memecahkan berbagai masalah matematika.

Memecahkan Persamaan Kuadrat

Salah satu penerapan faktorisasi yang paling umum adalah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk ax ² + bx + c = 0 , di mana a , b , dan c adalah konstanta.

Dengan memfaktorkan persamaan ini menjadi (ax + d)(cx + e) = 0 , kita dapat menggunakan prinsip perkalian nol untuk menyelesaikan x :

• ax + d = 0
• cx + e = 0

Dengan menyelesaikan setiap faktor, kita dapat menemukan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat asli.

Visualisasi Faktorisasi

Memvisualisasikan faktorisasi suatu polinomial dapat membantu dalam memahami konsep faktorisasi dan memudahkan prosesnya.

Salah satu metode visualisasi yang umum digunakan adalah diagram pohon faktor. Metode ini merepresentasikan polinomial sebagai pohon, dengan akar mewakili polinomial asli dan cabang mewakili faktor-faktornya.

Diagram Pohon Faktor

Untuk memvisualisasikan faktorisasi x ² – 7x + 6 = 0 menggunakan diagram pohon faktor, ikuti langkah-langkah berikut:

1. Tulis polinomial asli sebagai akar pohon.
2. Cari dua bilangan yang hasil kalinya sama dengan koefisien suku konstan (6) dan jumlahnya sama dengan koefisien suku x (-7). Dalam kasus ini, bilangan tersebut adalah
   • 6 dan
   • 1.
3. Tulis kedua bilangan tersebut sebagai cabang dari akar, dengan hasil kali keduanya sebagai koefisien suku konstan dari masing-masing cabang.
4. Ulangi langkah 2 dan 3 untuk setiap cabang hingga tidak ada lagi faktorisasi yang dapat dilakukan.

Diagram pohon faktor yang dihasilkan untuk x ² – 7x + 6 = 0 adalah sebagai berikut:

x^2
- 7x + 6
        /     \
      
-6    
-1
       / \     / \
      x
- 6  x
- 1 

Diagram pohon faktor ini menunjukkan bahwa x ² – 7x + 6 = (x – 6)(x – 1).

Ringkasan Penutup

Dengan memahami cara memfaktorkan x^2 – 7x + 6 = 0, kita dapat memperoleh pemahaman yang lebih mendalam tentang persamaan kuadrat dan penerapannya yang luas. Faktorisasi tidak hanya memberikan metode untuk menyelesaikan persamaan, tetapi juga membantu kita memvisualisasikan sifat polinomial dan hubungannya dengan akar-akarnya.

Ringkasan FAQ

Mengapa memfaktorkan x^2 – 7x + 6 = 0 penting?

Memfaktorkan x^2 – 7x + 6 = 0 penting karena memungkinkan kita untuk menemukan akar-akar persamaan, yang dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika.

Bagaimana cara menentukan akar-akar x^2 – 7x + 6 = 0?

Akar-akar x^2 – 7x + 6 = 0 dapat ditentukan dengan menggunakan rumus kuadrat: x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a. Dalam hal ini, a = 1, b = -7, dan c = 6.

Apa penerapan faktorisasi dalam memecahkan masalah matematika?

Faktorisasi dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika, seperti menyelesaikan persamaan kuadrat, menemukan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat, dan memecahkan sistem persamaan.